Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 2. Đặt A=x2+y2+1
Nhập \(2^A=\left(A-2x+1\right)4^x\) vào máy tính Casio. Cho x=0.01, tìm A
Máy sẽ giải ra, A=1.02=1+2x
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+1=1+2x\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2x=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+y^2=1\) (C)
Có (C) là đường tròn tâm (1,0) bán kính R=1
Lại có: P=\(\frac{8x+4}{2x-y+1}\)
\(\Leftrightarrow x\left(2P-8\right)-yP+P-4=0\) (Q)
Có (Q) là phương trình đường thẳng.
Để x,y có nghiệm thì đường thẳng và đường tròn giao nhau nghĩa là d(I,(Q))\(\le R\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|x\left(2P-8\right)-yP+P-4\right|}{\sqrt{\left(2P-8\right)^2+P^2}}\le1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|2P-8+P-4\right|}{\sqrt{\left(2P-8\right)^2+1}}\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(3P-12\right)^2\le5P^2-32P+64\)
\(\Leftrightarrow4P^2-40P+80\le0\)
\(\Leftrightarrow5-\sqrt{5}\le P\le5+\sqrt{5}\)
Vậy GTNN của P gần số 3 nhất. Chọn C
Bài 2: Mình nghĩ điều kiện sửa thành $a,b\in\mathbb{N}$ thôi thì đúng hơn.
ĐKĐB $\Leftrightarrow \log_2[(2x+1)(y+2)]^{y+2}=8-(2x-2)(y+2)$
$\Leftrightarrow (y+2)\log_2[(2x+1)(y+2)]=8-(2x-2)(y+2)$
$\Leftrightarrow (y+2)[\log_2[(2x+1)(y+2)]+(2x-2)]=8$
$\Leftrightarrow \log_2[(2x+1)(y+2)]+(2x-2)]=\frac{8}{y+2}$
$\Leftrightarrow \log_2(2x+1)+\log_2(y+2)+(2x+1)-3=\frac{8}{y+2}$
$\Leftrightarrow \log_2(2x+1)+(2x+1)=\frac{8}{y+2}+3-\log_2(y+2)=\frac{8}{y+2}+\log_2(\frac{8}{y+2})(*)$
Xét hàm $f(t)=\log_2t+t$ với $t>0$
$f'(t)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0$ với mọi $t>0$
Do đó hàm số đồng biến trên TXĐ
$\Rightarrow (*)$ xảy ra khi mà $2x+1=\frac{8}{y+2}$
$\Leftrightarrow 8=(2x+1)(y+2)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$8=(2x+1)(y+2)\leq \left(\frac{2x+1+y+2}{2}\right)^2$
$\Rightarrow 2\sqrt{2}\leq \frac{2x+y+3}{2}$
$\Rightarrow 2x+y\geq 4\sqrt{2}-3$
Vậy $P_{\min}=4\sqrt{2}-3$
$\Rightarrow a=4; b=2; c=-3$
$\Rightarrow a+b+c=3$
Đáp án B.
2.
\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)log_2\left(2x+1\right)\left(y+2\right)=8-\left(2x-2\right)\left(y+2\right)\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)\left(y+2\right)=\frac{8}{y+2}-2x+2\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+log_2\left(y+2\right)=\frac{8}{y+2}-2x+2\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+\left(2x+1\right)=-log_2\left(y+2\right)+3+\frac{8}{y+2}\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+\left(2x+1\right)=log_2\left(\frac{8}{y+2}\right)+\frac{8}{y+2}\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=log_2t+t\Rightarrow f'\left(t\right)=\frac{1}{t.ln2}+1>0;\forall t>0\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow2x+1=\frac{8}{y+2}\)
\(\Rightarrow2x=\frac{8}{y+2}-1=\frac{6-y}{y+2}\)
\(\Rightarrow P=2x+y=y+\frac{6-y}{y+2}=y+\frac{8}{y+2}-1\)
\(\Rightarrow P=y+2+\frac{8}{y+2}-3\ge2\sqrt{\frac{8\left(y+2\right)}{y+2}}-3=4\sqrt{2}-3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b+c=3\)
3.
\(y'=-3x^2-6x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=0\end{matrix}\right.\)
\(y\left(-1\right)=m-2\) ; \(y\left(1\right)=m-4\)
\(\Rightarrow y_{min}=y\left(1\right)=m-4\)
\(\Rightarrow m-4=0\Rightarrow m=4\)
4.
Hàm đã cho bậc nhất trên bậc nhất nên đơn điệu trên mọi khoảng xác định
\(\Rightarrow y_{min}+y_{max}=y\left(1\right)+y\left(2\right)=\frac{m+1}{2}+\frac{m+2}{3}=8\)
\(\Rightarrow m=\frac{41}{5}\)
Đáp án B
1.
\(y'=\frac{1}{\left(sinx+1\right)^2}.cosx>0\Rightarrow y\) đồng biến
\(m=y_{min}=y\left(0\right)=2\)
\(M=y_{max}=y\left(1\right)=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow M^2+m^2=\frac{41}{4}\)
2.
Hàm xác định trên \(\left[-2;2\right]\)
\(y'=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=0\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\)
\(y\left(-2\right)=-2\) ; \(y\left(\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}\) ; \(y\left(2\right)=2\)
\(\Rightarrow N=-2;M=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow M+2N=2\sqrt{2}-4\)
Câu 1:
Gọi \(A\left(1;-1\right)\) và \(B\left(2;3\right)\Rightarrow\) tập hợp \(z\) thoả mãn điều kiện đề bài là đường trung trực d của đoạn AB, ta dễ dàng viết được phương trình d có dạng \(4x-y-5=0\)
Gọi \(M\left(-2;-1\right)\) và \(N\left(3;-2\right)\) và \(I\left(a;b\right)\) là điểm bất kì biểu diễn \(z\Rightarrow I\in d\) \(\Rightarrow P=IM+IN\). Bài toán trở thành dạng cực trị hình học phẳng quen thuộc: cho đường thẳng d và 2 điểm M, N cố định, tìm I thuộc d để \(P=IM+IN\) đạt GTNN
Thay toạ độ M, N vào pt d ta được 2 giá trị trái dấu \(\Rightarrow M;N\) nằm về 2 phía so với d
Gọi \(C\) là điểm đối xứng M qua d \(\Rightarrow IM+IN=IC+IN\), mà \(IC+IN\ge CN\Rightarrow P_{min}=CN\) khi I, C, N thẳng hàng
Phương trình đường thẳng d' qua M và vuông góc d có dạng:
\(1\left(x+2\right)+4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+4y+6=0\)
Gọi D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+4y+6=0\\4x-y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{14}{17};-\frac{29}{17}\right)\)
\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left(-2;-1\right)\Rightarrow P_{min}=CN=\sqrt{\left(3+2\right)^2+\left(-2+1\right)^2}=\sqrt{26}\)
Bài 2:
Tập hợp \(z\) là các điểm M thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left(0;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\) có phương trình \(x^2+\left(y-1\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\left|z\right|=OM\Rightarrow\left|z\right|_{max}\) khi và chỉ khi \(M;I;O\) thẳng hàng và M, O nằm về hai phía so với I
\(\Rightarrow M\) là giao điểm của (C) với Oy \(\Rightarrow M\left(0;1+\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phần ảo của z là \(b=1+\sqrt{2}\)
Câu 3:
\(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)=5+\sqrt{2}i\)
\(\Rightarrow z=5-\sqrt{2}i\Rightarrow b=-\sqrt{2}\)
Câu 4
\(z.z'=\left(m+3i\right)\left(2-\left(m+1\right)i\right)=2m-\left(m^2+m\right)i+6i+3m+3\)
\(=5m+3-\left(m^2+m-6\right)i\)
Để \(z.z'\) là số thực \(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\)
Câu 5:
\(A\left(-4;0\right);B\left(0;4\right);M\left(x;3\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;4\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(x+4;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A,B,M\) khi và chỉ khi \(\frac{x+4}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=-1\)
Câu 6:
\(z=3z_1-2z_2=3\left(1+2i\right)-2\left(2-3i\right)=-1+12i\)
\(\Rightarrow b=12\)
Câu 7:
\(w=\left(1-i\right)^2z\)
Lấy môđun 2 vế:
\(\left|w\right|=\left|\left(1-i\right)^2\right|.\left|z\right|=2m\)
Câu 8:
\(3=\left|z-1+3i\right|=\left|z-1-i+4i\right|\ge\left|\left|z-1-i\right|-\left|4i\right|\right|=\left|\left|z-1-i\right|-4\right|\)
\(\Rightarrow\left|z-1-i\right|\ge-3+4=1\)
1.
Hàm trùng phương có đúng 1 cực trị khi:
TH1: \(a=m=0\)
TH2: \(ab=-m>0\Leftrightarrow m< 0\)
\(\Rightarrow m\le0\)
Đáp án B
2.
\(y'=3\left(x^2+2mx+m^2-1\right)=3\left(x+m+1\right)\left(x+m-1\right)\)
\(y'=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-m+1\\x=-m-1\end{matrix}\right.\)
Hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía trục hoành
\(\Leftrightarrow y'\left(-m+1\right).y'\left(-m-1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(3m-2\right)\left(3m+2\right)< 0\Rightarrow-\frac{2}{3}< m< \frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow a+2b=-\frac{2}{3}+2.\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\)
\(\left(xy-1\right)2^{2xy-1}=\left(x^2+y\right)2^{x^2+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)2^{2\left(xy-1\right)+1}=\left(x^2+y\right)2^{x^2+y}\)
\(\Leftrightarrow2\left(xy-1\right)2^{2\left(xy-1\right)}=\left(x^2+y\right)2^{x^2+y}\)
Do vế phải luôn dương \(\Rightarrow VT>0\Rightarrow xy-1>0\) (1)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t.2^t\) với \(t>0\Rightarrow f'\left(t\right)=2^t+t.2^t.ln2>0\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)
\(\Rightarrow2\left(xy-1\right)=x^2+y\Rightarrow2xy-y=x^2+2\) (thay \(x=\dfrac{1}{2}\) thấy ko phải nghiệm)
\(\Rightarrow y=\dfrac{x^2+2}{2x-1}\) (2)
Thay (2) vào (1): \(xy-1>0\Rightarrow x.\left(\dfrac{x^2+2}{2x-1}\right)-1>0\Rightarrow\dfrac{x^3+2x}{2x-1}-1>0\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3+1}{2x-1}>0\Rightarrow2x-1>0\) (do \(x>0\Rightarrow x^3+1>0\))
Vậy \(y=\dfrac{x^2+2}{2x-1}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}=\dfrac{2x-1}{4}+\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}+\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y\ge2\sqrt{\dfrac{\left(2x-1\right)}{4}.\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}}+\dfrac{1}{2}=2\)
\(\Rightarrow y_{min}=2\) khi \(\dfrac{2x-1}{4}=\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}\Rightarrow x=2\)
Đáp án B
1/ \(f'\left(x\right)=\frac{3\sqrt{x^2+1}-\frac{x\left(3x+1\right)}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{3\left(x^2+1\right)-3x^2-x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}=\frac{3-x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)
Hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;3\right)\) nghịch biến trên \(\left(3;+\infty\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đạt GTLN tại \(x=3\)
\(f\left(x\right)_{max}=f\left(3\right)=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\)
2/ \(y'=\frac{\sqrt{x^2+2}-\frac{\left(x-1\right)x}{\sqrt{x^2+2}}}{x^2+2}=\frac{x^2+2-x^2+x}{\left(x^2+2\right)\sqrt{x^2+2}}=\frac{x+2}{\left(x^2+2\right)\sqrt{x^2+2}}\)
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=-2\in\left[-3;0\right]\)
\(y\left(-3\right)=-\frac{4\sqrt{11}}{11}\) ; \(y\left(-2\right)=-\frac{\sqrt{6}}{2}\) ; \(y\left(0\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\N=-\frac{\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MN=\frac{\sqrt{12}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Tất cả các đáp án đều sai
3/ \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-3\right|\ge0\\\sqrt{x+1}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0\) \(\forall x\Rightarrow N=0\) khi \(x=3\)
- Với \(0\le x< 3\Rightarrow f\left(x\right)=\left(3-x\right)\sqrt{x+1}\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=-\sqrt{x+1}+\frac{\left(3-x\right)}{2\sqrt{x+1}}=\frac{-2\left(x+1\right)+3-x}{2\sqrt{x+1}}=\frac{-3x+1}{2\sqrt{x+1}}\)
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)
- Với \(3< x\le4\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-3\right)\sqrt{x+1}\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\sqrt{x+1}+\frac{x-3}{2\sqrt{x+1}}=\frac{2\left(x+1\right)+x-3}{2\sqrt{x+1}}=\frac{3x-1}{2\sqrt{x+1}}>0\) \(\forall x>3\)
Ta có: \(f\left(0\right)=3\) ; \(f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{16\sqrt{3}}{9}\) ; \(f\left(4\right)=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow M=\frac{16\sqrt{3}}{9}\Rightarrow M+2N=\frac{16\sqrt{3}}{9}\)
Câu 2 hình như câu B mà người ta nói đạt GTLN . GTNN tại M , N nên là 0 x -2 =0
Xét \(y=8x^4+ax^2+b\Rightarrow y'=32x^3+2ax\)
\(y'=0\Rightarrow2x\left(16x^2+a\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2=-\frac{a}{16}\end{matrix}\right.\)
- Nếu \(a>0\Rightarrow y'=0\) có đúng 1 nghiệm \(x=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)_{max}=f\left(-1\right)=f\left(1\right)=\left|a+b+8\right|=1\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=-7\\a+b=-9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-7-a< 0\\b=-9-a< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\b< 0\end{matrix}\right.\)
Đáp án A đúng luôn, ko cần xét \(a< 0\) nữa
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=2log_a\left(ab\right)=2\left(1+log_ab\right)\\y^2=2log_b\left(ab\right)=2\left(1+log_ba\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2log_ab=x^2-2\\2log_ba=y^2-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x^2-2\right)\left(y^2-2\right)=4\)
\(\Leftrightarrow y^2-2=\frac{4}{x^2-2}\Rightarrow y^2=\frac{2x^2}{x^2-2}\) (\(x\ge\sqrt{2}\))
\(\Rightarrow P=f\left(x\right)=8x+\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-2}}=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=8-\frac{2\sqrt{2}x}{\left(x^2-2\right)^2\sqrt{\frac{x^2}{x^2-2}}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2\right)^3=\frac{1}{8}\Leftrightarrow x^2-2=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=P\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)=5\sqrt{10}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\n=5\\m=10\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m+n+p=15\)