Question

[Angela jolie]

Cho bố số dương a, b, c, d thỏa mãn a³+b³+c³=3d³, b⁵+c⁵+d⁵=3a⁵ và c⁷+d⁷+a⁷=3b⁷. CMR: a=b=c=d.

Answer 1

[Phạm Minh Quang]

Xét 4 TH

TH1: \(a=max\left\{a,b,c,d\right\}\). Từ \(b^5+c^5+d^5=3a^5\Rightarrow\)\(a=b=c=d\)

TH2: \(b=max\left\{a,b,c,d\right\}.\)Từ \(c^7+d^7+a^7=3b^7\Rightarrow a=b=c=d\)

TH3: \(c=max\left\{a,b,c,d\right\}\). Từ \(a^3+b^3+c^3=3d^3\ge3abc\Rightarrow d^3\ge abc\)(1)

Từ \(b^5+c^5+d^5=3a^5\ge3\sqrt[3]{b^5c^5d^5}\Rightarrow a\ge\sqrt[3]{bcd}\Rightarrow a^3\ge bcd\)(2)

Từ \(c^7+d^7+a^7=3b^7\Rightarrow3b^7\ge3\sqrt[3]{c^7d^7a^7}\Rightarrow b\ge\sqrt[3]{cda}\)

\(\Rightarrow b^3\ge cda\)(3)

Từ(1)(2)(3) suy ra \(abd\ge c^3\) mà \(c\) max \(\Rightarrow a=b=c=d\)

TH4: \(d=max\left\{a,b,c,d\right\}.\)Từ \(a^3+b^3+c^3=3d^3\)\(\Rightarrow a=b=c=d\)

Vậy ta có \(a=b=c=d\)

Bài này khá là hay

Answer 2

[bach nhac lam]

tui đã từng gặp rồi đây là câu 1.2 trong đề thi hsg toán 9 tp Hà Nội