M
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
M
1
12 tháng 11 2018
\(A\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{2a+b+a+2b}=\frac{4}{3\left(a+b\right)}=\frac{4}{3.16}=\frac{1}{12}\) ( Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=8\)
M
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 11 2018
\(\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{a+2b}\ge\dfrac{4}{2a+b+a+2b}=\dfrac{4}{3\left(a+b\right)}=\dfrac{4}{3.16}=\dfrac{1}{12}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\dfrac{1}{12}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(2a+b=a+2b\Rightarrow a=b=8\)
12 tháng 11 2017
Cho mình hỏi, phân thức cuối cùng của câu a phải là \(\frac{1}{c+2a+b}\)chứ
T
0
CV
29 tháng 9 2016
Ta có:(Sử dụng bdt cô-si) \(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}.\frac{b+c}{4bc}}=2.\frac{1}{2a}=\frac{1}{a}\)
=> \(\frac{bc}{a^2b+a^2c}\ge\frac{1}{a}-\frac{b+c}{4bc}\)
Chứng minh tương tự:\(\frac{ca}{b^2a+b^2c}\ge\frac{1}{b}-\frac{c+a}{4ca}\);\(\frac{ab}{c^2a+c^2b}\ge\frac{1}{c}-\frac{a+b}{4ab}\)
Từ đó \(P\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\left(\frac{b+c}{4bc}+\frac{c+a}{4ca}+\frac{a+b}{4ab}\right)\)
Mà\(\frac{b+c}{4bc}+\frac{c+a}{4ca}+\frac{a+b}{4ab}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)=> \(P\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge9\)(do a+b+c<=1)=> \(P\ge\frac{1}{2}.9=\frac{9}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\\frac{bc}{a^2b+a^2c}=\frac{b+c}{4bc}\\a,b,c>0\end{cases}};...\)
<=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy\(MinP=\frac{9}{2}\)khi a=b=c=1/3
PA
2 tháng 8 2017
b)
Đề: Cho a, b, c > 0 và abc = ab + bc + ca. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\le\frac{3}{16}\)
~ ~ ~ ~ ~
\(abc=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\), ta có:
\(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left[\frac{3}{2\left(a+c\right)}+\frac{3}{2\left(b+c\right)}+\frac{3}{2\left(a+b\right)}\right]\)
\(=\frac{3}{8}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(\le\frac{3}{32}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{3}{16}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Ta có:
\(A=\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{a+2b}\)
\(=\dfrac{1}{2a+16-a}+\dfrac{1}{16-b+2b}\)
\(=\dfrac{1}{a+16}+\dfrac{1}{b+16}\)
\(=\dfrac{a+b+32}{ab+16\left(a+b\right)+256}\)
\(=\dfrac{16+32}{ab+256+256}\)
\(=\dfrac{48}{ab+512}\)
\(\ge\dfrac{48}{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}+512}\) (Cô - si)
\(=\dfrac{48}{\dfrac{256}{4}+512}\)
\(=\dfrac{1}{12}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=8\)
Vậy Min A = \(\dfrac{1}{12}\) \(\Leftrightarrow a=b=8\)