Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\frac{1}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(c+1\right)\left(c^2-c+1\right)}}\)
\(VT\ge\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\)
Do \(abc=8\) nên tồn tại các số dương x;y;z sao cho: \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{2x}{y}\\b=\frac{2y}{z}\\c=\frac{2z}{x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{y^2}{2x^2+y^2}+\frac{z^2}{2y^2+z^2}+\frac{x^2}{2z^2+x^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{x^4}{x^4+2x^2z^2}+\frac{y^4}{y^4+2x^2y^2}+\frac{z^4}{z^4+2y^2z^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
1) ĐK: \(\frac{x+1}{x}>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x>0\\x< -1\end{array}\right.\)
Đặt \(t=\sqrt{\frac{x+1}{x}}\left(t>0\right)\) , bất pt đã cho trở thành:
\(\frac{1}{t^2}-2t>3\Leftrightarrow\frac{1-2t^3-3t^2}{t^2}>0\Leftrightarrow1-2t^3-3t^2>0\)
\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)^2\left(1-2t\right)>0\Leftrightarrow1-2t>0\Leftrightarrow t< \frac{1}{2}\)
\(t< \frac{1}{2}\Rightarrow\sqrt{\frac{x+1}{x}}< \frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{x+1}{x}< \frac{1}{4}\Leftrightarrow\frac{3x+4}{4x}< 0\)
Lập bảng xét dấu ta được \(-\frac{4}{3}< x< 0\)
Kết hợp điều kiện ta được: \(-\frac{4}{3}< x< -1\) là giá trị cần tìm
3) Chứng minh BĐT phụ: \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a,b>0\right)\)(1)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{a+b}{4ab}\Leftrightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Dấu '=' xảy ra ↔ a = b
Áp dụng BĐT trên, ta có:
\(\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x+x+y+z}=\frac{x}{x+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{y}{y+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}\right)\)
\(\frac{z}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)
Cộng vế theo vế ba BĐT trên ta được:
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}+\frac{y}{y+z}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1/3 (do x + y + z = 1)
Vậy GTLN của P là 3/4 khi x = y = z = 1/3
3. a) \(A=x+\frac{1}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}+1\ge2\sqrt{\left(x-1\right)\cdot\frac{1}{x-1}}+1=3\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow x-1=\frac{1}{x-1}\Leftrightarrow x=2\)
Min \(A=3\Leftrightarrow x=2\)
b) \(B=\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}=\frac{4}{x}+4x+\frac{1}{4y}+4y\cdot-4\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{4}{x}\cdot4x}+2\sqrt{\frac{1}{4y}\cdot4y}-4\cdot\frac{5}{4}=5\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{4}{x}=4x\\\frac{1}{4y}=4y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Min \(B=5\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
4. Chắc đề là tìm min???
\(C=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge a+b+\frac{4}{a+b}=a+b+\frac{1}{a+b}+\frac{3}{a+b}\)
\(\ge2\sqrt{\left(a+b\right)\cdot\frac{1}{a+b}}+\frac{3}{1}=5\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=\frac{1}{a+b}\\a+b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Min \(C=5\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
1. Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:
\(\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\right)+\left(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)+\left(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\right)\)
\(\ge\frac{4}{2p-a-b}+\frac{4}{2p-b-c}+\frac{4}{2p-a-c}\) \(=\frac{4}{c}+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
2. Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(a\sqrt{b-1}=a\sqrt{\left(b-1\right)\cdot1}\le a\cdot\frac{b-1+1}{2}=\frac{ab}{2}\) . Dấu "=" \(\Leftrightarrow b-1=1\Leftrightarrow b=2\)
+ Tương tự : \(b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=2\)
Do đó: \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=2\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :
\(\left(1^2+4^2\right)\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)\ge\left(a+\frac{4}{b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow17\cdot\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)\ge\left(a+\frac{4}{b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{17}\cdot\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\ge a+\frac{4}{b}\)
Tương tự ta có :
\(\sqrt{17}\cdot\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}\ge b+\frac{4}{c}\)
\(\sqrt{17}\cdot\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge c+\frac{4}{a}\)
Cộng theo vế của 3 bđt ta được :
\(\sqrt{17}\cdot\left(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\right)\ge a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{17}\cdot A\ge a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :
\(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\)
\(=16a+\frac{4}{a}+16b+\frac{4}{b}+16c+\frac{4}{c}-15a-15b-15c\)
\(\ge2\sqrt{\frac{4\cdot16a}{a}}+2\sqrt{\frac{4\cdot16b}{b}}+2\sqrt{\frac{4\cdot16c}{c}}-15\left(a+b+c\right)\)
\(\ge16+16+16-15\cdot\frac{3}{2}=\frac{51}{2}\)
Do đó : \(\sqrt{17}\cdot A\ge\frac{51}{2}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{2a+1};\frac{1}{2b+1};\frac{1}{2c+1}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)
Mặt khác do \(a;b;c>0\Rightarrow x;y;z< 1\)
Ta có: \(P=\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{x}{3-2x}\ge\frac{27x-2}{49}\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow9x^2-6x+1\ge0\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(P\ge\frac{27\left(x+y+z\right)-6}{49}\ge\frac{21}{49}=\frac{3}{7}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=1\)
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau \(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(x+y\right)^2}\)
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với \(\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\ge\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2\)\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge2ax+2by\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunyakovsky nên (*) đúng
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\)\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
Ta cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{153}{4}\)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy và chú ý giả thiết \(a+b+c\le\frac{3}{2}\), ta được:\(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}\)\(=\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}+\frac{1215}{16\left(a+b+c\right)^2}\)\(\ge2\sqrt{\left(a+b+c\right)^2.\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{1215}{16.\frac{9}{4}}=\frac{153}{4}\)
Bất đẳng thức đã được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
\(P=\frac{16a}{3}+\frac{1}{b}+\frac{4}{4c}\ge\frac{16a}{9}+\frac{16a}{9}+\frac{16a}{9}+\frac{9}{b+4c}\ge4\sqrt[4]{\frac{4096}{81}.\frac{a^3}{b+4c}}=\frac{32}{3}\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{3}{2};\frac{9}{8};\frac{9}{16}\right)\)