M
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HN
2
21 tháng 4 2018
Bổ sung ĐK : a , b , c , d dương
a4 + b4 + c4 + d4 ≥ 4abcd
Áp dụng BĐT Cô - si : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ( x > 0 ; y > 0 )
Ta có : a4 + b4 ≥ 2a2b2 ( 1)
b4 + c4 ≥ 2b2c2 ( 2)
c4 + d4 ≥ 2c2d2 ( 3)
a4 + d4 ≥ 2a2d2 ( 4)
Từ ( 1; 2; 3; 4) ⇒ a4 + b4 + c4 + d4 ≥ a2b2 + b2c2 + c2d2 + a2d2 (***)
Lại Áp dụng BĐT Cô - si : x2 + y2 ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0 )
Ta có : a2b2 + c2d2 ≥ 2abcd ( *)
a2d2 + b2c2 ≥ 2abcd ( ** )
Từ : ( * ; ** ; ***) ⇒ đpcm
HQ
21 tháng 4 2018
đề bài lạ nhỉ đáng lẽ phải là \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) chứ nhỉ
\(a^4+b^4+c^4+d^4\Rightarrow4\sqrt{4\left(a^4.b^4.c^4.d^4\right)}=4abcd\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d\)
Dùng cosi
HT
5
13 tháng 1 2018
Có : a^4;b^4;c^4;d^4 đều >= 0 nên ta áp dụng bđt cosi cho 4 số a^4;b^4;c^4;d^4 >= 0 thì :
a^4+b^4+c^4+d^4 >= 4\(\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.d^4}\) = 4abcd
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d
=> ĐPCM
Tk mk nha
13 tháng 1 2018
\(a^4+b^4+c^4+d^4\)
\(\ge2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\left(2.ab.cd\right)=4abcd\)
Dấu = khi a=b=c=d
ND
2
BC
19 tháng 4 2016
Ta có: \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\) , \(c^4+d^4\ge2c^2d^2\) (Rất dễ cm, bạn dùng biến đổi tương đương)
. => \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\) (1) Lại áp dụng BĐT trên, có:
\(a^2b^2+c^2d^2\ge2abcd=>2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge4abcd\)(2)
. Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d
LM
3
E
16 tháng 2 2019
Bài 1:
a) \(\)Ta có: x2 + y2 + z2 + 3 - 2(x + y + z) = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 ≥ 0
=> x2 + y2 + z2 + 3 ≥ 2(x + y + z)
b) Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Cô-si:
\(\left(a^4+b^4\right)+\left(c^4+d^4\right)\ge2\sqrt{a^4b^4}+2\sqrt{c^4d^4}=2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge2.2.\sqrt{a^2b^2c^2d^2}=4\left|abcd\right|\ge4abcd\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = d
Bài 2:
Ta sẽ chứng minh ab + bc + ca ≤ \(\dfrac{1}{3}\)(a + b + c)2 = 0
<=> 3ab + 3bc + 3ca ≤ (a + b + c)2
<=> 3ab + 3bc + 3ca ≤ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
<=> ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2
Thật vậy:
(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2 ≥ 0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
<=> a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 0
13 tháng 11 2017
câu 2
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd
<=> \(a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2b^2-4abcd+2b^2d^2=0\)
<=> \(\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2=0\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=d\)
18 tháng 1 2017
Giải:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk,c=dk\)
Ta có: \(\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^4=\left(\frac{bk-b}{dk-d}\right)^4=\left[\frac{b\left(k-1\right)}{d\left(k-1\right)}\right]^4=\left(\frac{b}{d}\right)^4\) (1)
\(\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}=\frac{\left(bk\right)^4+b^4}{\left(dk\right)^4+d^4}=\frac{b^4.k^4+b^4}{d^4.k^4+d^4}=\frac{b^4\left(k^4+1\right)}{d^4\left(k^4+1\right)}=\frac{b^4}{d^4}=\left(\frac{b}{d}\right)^4\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^4=\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}\left(đpcm\right)\)
18 tháng 1 2017
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^4}{c^4}=\frac{b^4}{d^4}=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^4\) (1)
Ta lại có:
\(\frac{a^4}{c^4}=\frac{b^4}{d^4}=\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}\) (2)
Từ (1);(2)\(\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^4=\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}\)
10 tháng 2 2018
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=d
Vậy a=b=c=d
Ta có BĐT cần chứng minh
\(\Leftrightarrow a^6+b^6+ab\left(a^4+b^4\right)\ge a^6+b^6+a^2b^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^4+b^4\right)\ge ab\left(a^3b+ab^3\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
...
Tớ vừa sửa đề rồi nha cậu :V
Cậu làm giùm tớ câu tớ vừa sửa nhé !!
K áp dụng BĐT ạ