Question

[Lê Ngọc Anh]

Cho ∆ABC vuông tại A và M là điểm bất kỳ trên cạnh BC.Gọi P là điểm đối xứng của M qua AB,MP cắt AB,MP cắt AB tại D;gọi Q là điểm đối xứng của M qua AC,MQ cắt AC tại E.

a)Các tứ giác ADME và BCQP là hình gì?Tại sao?

b)Cho AB=6cm,AC=8cm.Tính độ dài BC và diện tích ∆ABC.

c)Chứng minh A là trung điểm của đoạn PQ.

d)Tìm vị trí của M trên cạnh BC để chu vi tứ giác BCQP đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

A B C M P Q D E 1 2 3 4 2 2 1 1

a) Dễ thấy tứ giác ADME có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Tam giác PBM co BP là đường trung trực nên nó là tam giác cân. Vậy thì BP là phân giác hay \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)

Tương tự \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\) mà \(\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=90^o\) nên \(\widehat{PBM}+\widehat{MCQ}=2\left(\widehat{B_1}+\widehat{C_1}\right)=180^o\)

Chúng lại ở vị trí trong cùng phía nên PB // QC

Vậy BCQP là hình thang.

b) Áp dụng Pi-ta-go : \(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.6.8=24\left(cm^2\right)\)

c) Do AB là trung trực PM nên AP = AM

Tương tự AQ = AM nên AP = AQ.

Lại có \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2};\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\) mà \(\widehat{A_2}+\widehat{A_3}=90^o\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}+\widehat{A_4}=180^o\)

hay A, P, Q thẳng hàng.

Từ đó ta có A là trung điểm PQ.

d) Gọi AH là đường cao hạ từ A xuống BC.

Ta có 

\(P_{PBCQ}=PQ+PB+BC+CQ=2AM+PB+BM+MC+CQ=2AM+2BC=2\left(AM+BC\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta thấy \(AM+BC\ge2\sqrt{AM.BC}\)

mà AM là đường xiên nên \(AM\ge AH\)

Vậy thì \(AM+BC\ge2\sqrt{AM.BC}\ge2\sqrt{AH.BC}=2\sqrt{AB.AC}\)

Vậy thì \(minP_{PBCQ}=2\sqrt{AB.AC}\) khi M là chân đường cao hạ từ A xuống BC.