Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bunhiacopsky ta có
(a3 + b3 + c3)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))\(\ge\)(\(\frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b^3}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c^3}}{\sqrt{c}}\))2 = (a + b + c)2
Ta có: \(\left(a-1\right)^3=a^3-3a^2+3a-1\)
\(=a\left(a^2-3a+3\right)-1=a\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}a-1\ge\dfrac{3}{4}a-1\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\left(b-1\right)^3\ge\dfrac{3}{4}b-1;\left(c-1\right)^3\ge\dfrac{3}{4}c-1\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)-3=\dfrac{3}{4}\cdot3-3=-\dfrac{3}{4}\)
\(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\)
\(=\frac{a^4}{ab+2ca}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ca+2bc}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{3}\)
THƯA CHỊ BÀI NÀY LÀ SAO AK, E HỌC LỚP 5 ** BIK BÀI NÀY NHÉ ~_~ !!!!!!!!!!!
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0,\forall a,b\ge0\)
Áp dụng:
\(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{c}{a+b+c}\)
\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}=\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}=\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}=\frac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}=\frac{b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(đpcm\right)\)
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))