Question

[nguyễn thi nga]

cho ABC là một tam giác cân tại A. gọi X, Y là các điểm lần lượt thuộc các cạnh BC và AC sao cho XY song song với AB. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CXY và E là trung điểm của BY. Chứng minh rằng góc AEI bằng 90 độ.

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [B, A] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [C, A] Đoạn thẳng k_1: Đoạn thẳng [X, Y] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [B, Y] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [E, A] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [E, I] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [Y, K] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [N, I] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [I, M] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [E, M] Đoạn thẳng c: Đoạn thẳng [A, I] Đoạn thẳng d: Đoạn thẳng [N, M] B = (-1.6, -0.66) B = (-1.6, -0.66) B = (-1.6, -0.66) C = (5.82, -0.68) C = (5.82, -0.68) C = (5.82, -0.68) Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm X: Điểm trên f Điểm X: Điểm trên f Điểm X: Điểm trên f Điểm Y: Giao điểm đường của j, i Điểm Y: Giao điểm đường của j, i Điểm Y: Giao điểm đường của j, i Điểm I: Giao điểm đường của l, m Điểm I: Giao điểm đường của l, m Điểm I: Giao điểm đường của l, m Điểm E: Trung điểm của n Điểm E: Trung điểm của n Điểm E: Trung điểm của n Điểm K: Giao điểm đường của l, f Điểm K: Giao điểm đường của l, f Điểm K: Giao điểm đường của l, f Điểm N: Giao điểm đường của m, i Điểm N: Giao điểm đường của m, i Điểm N: Giao điểm đường của m, i Điểm M: Giao điểm đường của t, k_1 Điểm M: Giao điểm đường của t, k_1 Điểm M: Giao điểm đường của t, k_1 K

Gọi trung điểm của XY, YC và BC lần lượt là M, N và K..

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XYC nên \(\widehat{YMI}=\widehat{YNI}=90^o\)

Vậy ta có YMIN là tứ giác nội tiếp hay \(\widehat{IYN}=\widehat{IMN}\Rightarrow\widehat{AYI}=\widehat{EMI}\)        (1)

Xét tam giác BYX có E và M lần lượt là trung điểm của YB và YX nên EM song song và bằng một nửa BX.

Ta cũng có ngay E, M, N thẳng hàng.

Do XY // AB nên \(\frac{AY}{AC}=\frac{BX}{BC}\Rightarrow\frac{AY}{BX}=\frac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{AY}{EM}=\frac{AY}{\frac{BX}{2}}=2.\frac{AY}{BX}=\frac{2.AC}{BC}=\frac{AC}{BK}\)'

Do tam giác ABC cân tại A nên \(AK\perp BC\)

Xét tam giác vuông ABK, theo định nghĩa tỉ số lượng giác thì \(cos\widehat{ABC}=\frac{BK}{AB}\)

Vậy thì  \(\frac{YI}{MI}=\frac{1}{sin\widehat{XYK}}=\frac{1}{cos\widehat{YXK}}=\frac{1}{cos\widehat{ABC}}=\frac{1}{\frac{BK}{AB}}=\frac{AB}{BK}=\frac{AC}{BK}\)

Vậy nên \(\frac{AY}{EM}=\frac{YI}{MI}\)               (2) 

Từ (1) và (2) ta có \(\Delta AYI\sim\Delta EMI\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{IEN}=\widehat{IAN}\) 

Xét tứ giác AEIN có \(\widehat{IEN}=\widehat{IAN}\) nên nó là tứ giác nội tiếp.

\(\Rightarrow\widehat{AEI}=180^o-\widehat{ANI}=90^o\)

Answer 2

[nguyễn thi nga]

mình xin sửa lại yêu cầu là: chứng minh góc AEI bằng 90 

mong các bạn giúp