Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo bất đẳng thức tam giác:
\(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< a+c\\c< a+b\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2< ab+ac\\b^2< ab+bc\\c^2< ac+bc\end{cases}}\)
Cộng các bất đẳng thức lại với nhau có điều cần CM
-Theo bất đẳng thức trong tam giác ,ta có:
a+b>c\(\Rightarrow\)ac+bc>c^2
b+c>a\(\Rightarrow\)ba+ca>a^2
c+a>b\(\Rightarrow\)cb+ab>b^2
\(\Rightarrow\)ac+bc+ba+ca+cb+ab>a^2+b^2+c^2
\(\Rightarrow\)2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2
Mk còn thiếu vế trái nữa
a2 + b2 + c2 \(\le\)2 ( ab + bc + ca )
Vì a ; b ; c là 3 cạnh của 1 tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác:
Ta có:
a\(\le\)b +c => a . a \(\le\)a.(b + c) => a2 \(\le\) ab + ac ( 1 )
b \(\le\) a + c => b . b \(\le\)b ( a + c ) => b2 \(\le\)ab + bc ( 2)
c \(\le\) a + b => c . c \(\le\) c . ( a + b ) => c2 \(\le\) ac + bc ( 3 )
Cộng với các vế ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) được:
a2+ b2 + c2 \(\le\) ab + ac + ab + bc + ac + bc
Vậy a2 + b2 + c2 \(\le\)2.( ab + bc + ca )
a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ca
<=> a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca \(\ge\) 0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca \(\ge\)0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ca + a2 ) \(\ge\)0
<=> ( a - b )2 + ( b - c)2 + ( c - a)2 \(\ge\) 0 ( Luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c
A=(2ab-a^2-b^2+c^2).(2ab+a^2+b^2-c^2)
A=(c^2-(a-b)^2).((a+b)^2-c^2)
A=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)
Do c+b-a>0
c+a-b>0
a+b-c>0
a+b+c>0
=>A>0
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có :
\(\begin{cases}a+b>c\\c+a>b\\b+c>a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}ac+bc>c^2\\ab+bc>b^2\\ab+ac>a^2\end{cases}\) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2>2\left(ab+bc+ac\right)\)