Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C E D b c x b
Giả sử AB=c,BC=a,CA=b; đường phân giác AD có độ dài x. Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E.
Dễ thấy: ^ACE = ^AEC (=^BAC/2) => \(\Delta\)ACE cân tại A => AC=AE=b => CE < 2b (BĐT tam giác)
Theo hệ quả ĐL Thales: \(\frac{AD}{CE}=\frac{BA}{BE}\)(Do AD // CE) hay \(\frac{x}{CE}=\frac{c}{b+c}\Rightarrow x=\frac{c.CE}{b+c}\)
Mà BE < 2b nên \(x< \frac{2bc}{b+c}\). Tương tự thì \(y< \frac{2ca}{c+a};z< \frac{2ab}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm).
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) thì ta được
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng các bđt trên theo vế được đpcm.
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế
=> \(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=> \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
Xin lỗi nhé, nãy đang vội thấy 3 p/s nghĩ luôn ra mà ko kịp soát
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT ta có:
\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VP\Rightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\)
\(\ge\frac{9}{a+b-c+b+c-a+a+c-b}=\frac{9}{a+b+c}\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
Ta có : \(\frac{1}{x}\)+ \(\frac{1}{y}\)\(\ge\)\(\frac{4}{xy}\)( với x,y dương)
Thật vậy: \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)\(\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y+x}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng \(\forall\)x,y
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)(Vì a,b,c là 3 cạnh \(\Delta\)nên a+b-c > 0 và b+c-a > 0 bđt \(\Delta\))
Tương tự có: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng từng vế 3 bđt trên ta được:
2(\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\)\(\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(ĐFCM)
CHÚC BẠN HỌC TỐT!
Cái phần cuối mình up lên nhưng không được chắc là do giới hạn chữ
Phần cuối bạn làm như thế này nhé:
C/m tương tự:\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng từng vế của 3 bđt trên ta được \(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(ĐFCM)
CHÚC BẠN HỌC TỐT!
Bài làm:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwars ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\)
b) Tương tự phần a ta chứng minh được:
\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\) ; \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:
\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c
c) Ta có: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}=\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-a}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-b}\)
\(=\frac{1}{\frac{b+c-a}{2}}+\frac{1}{\frac{c+a-b}{2}}=\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{c+a-b}\)
\(=2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\cdot\frac{4}{2c}=\frac{4}{c}\) (Cauchy Schwars)
Tương tự ta CM được:
\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) ; \(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)
Cộng vế 3 BĐT vừa CM lại ta được:
\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=> \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c
a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
=> a,b,c > 0
a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
<=> \(\frac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
<=> \(\frac{ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a^2+ab}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
<=> \(\frac{ab+b^2+a^2+ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
<=> \(\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
<=> \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
a, b > 0 => \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\ab>0\\a+b>0\end{cases}}\forall a,b\)
Vậy bđt được chứng minh
Đẳng thức xảy ra \(\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)( do ab(a+b) > 0 )
b) CMTT ta có : \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\); \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)
Cộng theo vế của bđt ta được :
\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
Còn ý c) thì mình chưa làm được vì chưa nghiên cứu sâu về bđt
Tham khảo bài bạn @godatakeshidang nhé ^^
Cần chứng minh
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Ta có :
p-a = \(\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}\)
p-b=\(\frac{a+c-b}{2}\)
p-c =\(\frac{a+b-c}{2}\)
=> VT = 2 \(\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)
Xét BDT : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(luon-dung\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Khi đó
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\). Dấu "=".........
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\). Dấu "="........
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a}\). Dấu "="........
Cộng vế với Vế , ta suy ra :
2\(\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\) \(\ge\)2\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Em thử dùng phép thế Ravi ạ, cách thì em biết rồi,muốn thử test cách này:
Đặt a =x + y; b =y + z; c = z + x (để không cần quan tâm để BĐT tam giác nữa)
Khi đó \(p=x+y+z;p-a=z;p-b=x;p-c=y\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\)
Ta có \(2VT=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(\ge\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}=2VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(đpcm\right)}\)