Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do 0 < a,b,c < 1 nên (a - 1)(b - 1)(c - 1) < 0
hay abc < ab + bc + ca - (a + b + c) + 1 = ab + bc + ca - 1
suy ra:a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca - 1) = (a + b + c)2 - 2 = 22 - 2 = 2
a, b, c là độ dài 3 cạnh của tgiác nên ta có: b+c > a => ab+ac > a²
tương tự: bc+ab > b²; ca+bc > c²
cộng lại: 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² (*)
g thiết: 4 = (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² + a²+b²+c² {ad (*)}
=> 2 > a²+b²+c² (đpcm)
a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a < b + c
\(\Leftrightarrow2a< a+b+c\Leftrightarrow2a< 2\Leftrightarrow a< 1\)
Chứng minh tương tự: b < 1; c < 1
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-a>0\\1-b>0\\1-c>0\end{cases}}\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)
\(\Leftrightarrow1-c-b+bc-a+ac+ab-abc>0\)
\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ac>abc\)
\(\Leftrightarrow1-2+ab+bc+ac>abc\)
\(\Leftrightarrow abc< -1+ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2abc< -2+2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< -2+2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2^2-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2\left(đpcm\right)\)
Theo bđt tam giác, ta có : \(\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\a+c>b\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}bc+ac>c^2\\ab+ac>a^2\\ab+bc>b^2\end{cases}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< \left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< 1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< \frac{1}{2}\)
Nhận xét : \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng từng vế => \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)
+) Lại có: a;b; c là 3 cạnh của tam giác nên a < b+ c; b < a+ c; c< a+ b
=> \(\frac{a}{b+c}<1;\frac{b}{c+a}<1;\frac{c}{b+a}<1\)
\(\frac{a}{b+c}<1\Rightarrow\frac{a}{b+c}<\frac{a+a}{b+c+a}=\frac{2a}{a+b+c}\)
tương tự, \(\frac{b}{c+a}<\frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}<\frac{2c}{a+b+c}\)
=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (2)
Từ (1)(2) => đpcm
mik thik mark tuan nek
bài này khó quá
khó
khó