Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài làm:
Ta có: \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\)
\(=\frac{3}{b+c}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{3}{c+a}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{3}{a+b}+\frac{c^2}{a+b}\)
\(=3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwars ta được:
\(VT\ge3.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}\)
\(=3.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{3^2}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(=3.\frac{9}{2.3}+\frac{9}{2.3}=\frac{9}{2}+\frac{9}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
Đặt: \(P=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)
Ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a-\frac{ab^2-1}{b^2+1}\ge a-\frac{ab^2-1}{2b}=a-\frac{ab}{2}+\frac{1}{2b}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2}+\frac{1}{2c},\frac{c+1}{a^2+1}\ge c-\frac{ca}{2}+\frac{1}{2a}\)
\(\Rightarrow P\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}+\frac{1}{2}\left(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\right)\)
\(=3-\frac{9}{6}+\frac{1}{2}.\frac{9}{3}=3\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Bài này sử dụng Cô-si ngược dấu:
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a.\left(a^2+ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\)
có: \(\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\le\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab+ab}=\frac{a+b}{3}\)
=> \(-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge-\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab+ab}=-\frac{a+b}{3}\)
=> \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{a+b}{3}\)
Chứng minh tương tự:
=> \(A\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=\frac{a+b+c}{3}\)
Cho a,b, c là các số thực dương. CMR:
a3a2+ab+b2 +b3b2+bc+c2 +c3c2+ac+a2 ≥a+b+c3
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta cần chứng minh :
\(\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0\) luôn đúng
Chúc bạn học tốt !!!
hoang viet nhat copy nhớ ghi nguồn nha bạn:))Link
Mà quan trọng là copy mà bạn có hiểu không là chuyện khác:) Bạn hãy giải thích tại sao:
\(\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)
Ta có : \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}=\frac{3}{b+c}+\frac{3}{c+a}+\frac{3}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
Ta cầm chứng minh : \(\hept{\begin{cases}\frac{3}{a+b}+\frac{3}{a+c}+\frac{3}{b+c}\ge\frac{9}{2}\left(1\right)\\\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{3}{2}\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta có bđt (1) \(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge9\)
Áp dụng bđt AM GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\\\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\end{cases}}\)
Nhân vế với vế ta được đpcm ; Vậy bđt (1) đc chứng minh
Ta có \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
Vậy bđt (2) đc chứng minh
Do 2 bất đẳng thức dước chứng minh
\(\Rightarrow\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{a+c}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6\) (ĐPCM)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
mũ 2 và mũ 3 nha bạn. cả 2 cái cách làm tương tự nhau.nếu bạn ko làm đc mũ 3, bn có thể làm mũ 2 chi mình xem đc ko
\(\frac{ab}{a^2+b^2}\le\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}\)
tương tự \(\frac{\Rightarrow ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ac}{a^2+c^2}\le\frac{3}{2}\)
=>Thắng Nguyễn :cm theo cách đó sai
giúp mình cái nhé
a=34;