Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Akai Haruma em có cách khác:3 Cô check giúp em ạ.
Sử dụng nguyên lí Dirichlet ta có thể giả sử \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Rightarrow a^2b^2\ge a^2+b^2-1\)
Suy ra \(a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8\)
Suy ra \(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge\left[\left(2a\right)^2+\left(2b\right)^2+2^2+2^2\right]\left(1+1+1+c^2\right)\)
\(\ge\left(2a+2b+2c+2\right)^2=4\left(a+b+c+1\right)^2\) (Bunyakovski)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Ngắn quá:))
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+3)[1+\frac{1}{3}(b+c+1)^2]\geq (a+b+c+1)^2\)
\(\Leftrightarrow 4(a^2+3)[1+\frac{1}{3}(b+c+1)^2]\geq 4(a+b+c+1)^2\)
Để chứng minh được BĐT đã cho, ta chỉ cần chỉ ra:
\((b^2+3)(c^2+3)\geq 4[1+\frac{(b+c+1)^2}{3}]\)
\(\Leftrightarrow 3b^2c^2+5b^2+5c^2+11-8bc-8b-8c\geq 0\)
\(\Leftrightarrow 3(bc-1)^2+4(b-1)^2+4(c-1)^2+(b-c)^2\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
mình hướng dẫn thôi được không chứ mình đá bóng bị ngã nên giờ bấm giải chi tiết không nổi
thôi mình sẽ giải chi tiết luôn nhé chứ hướng dẫn khó hiểu lắm
ko cả biết BĐT AM-GM với C-S là gì còn hỏi bài này rảnh háng
Đề sai rồi. Nếu như là a, b, c dương thì giá trị nhỏ nhất của nó phải là 9 mới đúng. Còn để có GTNN như trên thì điều kiện là a, b, c không âm nhé. Mà bỏ đi e thi cái gì mà phải giải câu cỡ này. Cậu này mạnh lắm đấy không phải dạng thường đâu.
Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)
Khi đó ta được: \(ab+bc+ca\ge ab;\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge\frac{1}{b^2};\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{1}{a^2}\)
Do đó ta cần chứng minh \(ab\left(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\ge4\)hay \(\frac{ab}{\left(a-b\right)^2}+\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge2\)*đúng theo bất đẳng thức Cô - si*
Đẳng thức xảy ra khi \(a^2+b^2=3ab,c=0\)
Giả sử c = min(a,b,c), khi đó ab+bc+ca>=ab; 1/(b-c)^2>=1/b^2; 1/(c-a)^2>=1/a^2. Ta cần chứng minh: ab(1/(a-b)^2 +1/b^2 + 1/a^2 )>=4. Bằng cách biến đổi tương đương ta được: [ab/(a-b)^2 +a/b + b/a]>=4 <=> ab/(a-b)^2 +a/b+b/a-4>=0 <=>ab/(a-b)^2 + (a^2+b^2-4ab)/ab>=0 <=> ab/(a-b)^2 +[(a-b)^2-2ab]/ab>=0 <=> ab/(a-b)^2 +(a-b)^2/ab - 2 >=0 (1).
Đặt k = ab/(a-b)^2>=0 => (a-b)^2 = 1/k >0.
Áp dụng BĐT Cosi cho k và 1/k => k+1/k >=2 căn(k.1/k)=2 => k+1/k-2>=0 => (1) đã được chứng minh.
Vậy (ab+bc+ca)[1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(c-a)^2]>=4.
Dấu bằng xảy ra khi c = 0 và k=1/k => k^2=1 => a^2b^2=(a-b)^4 => (a-b)^2=ab => a^2+b^2-2ab=ab => a^2-3ab+b^2 = 0. Xem đây là PT bậc hai theo a với hệ số theo b. Lập Delta = 9b^2-4b^2 = 5b^2 => a = (3b+bcăn 5)/2 hoặc a = (3b-bcăn 5)/2.
Không mất tính tổng quát giả sử \(0\le\)a<b<c
Ta có:\(ab+bc+ca\ge bc\)
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=\frac{1}{\left(b-a\right)^2}\ge\frac{1}{b^2}\)
TT\(\Rightarrow\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{1}{c^2}\)\(\Rightarrow VT\ge bc\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(VT\ge\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{bc}{\left(b-c\right)^2}\)
Đặt \(b^2+c^2=x;bc=y\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x-2y}\)
Ta cm:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x-2y}\ge4\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge4xy-8y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2\ge0\left(real\right)\)
=>đpcm
"="<=>a=0;\(b^2+c^2=3xy\) và các hoán vị
Áp dụng BĐT Svarxơ:
\(\left(ab+bc+ca\right).\Sigma\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\ge\left(ab+bc+ca\right).\frac{9}{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}\)
Ta cần c/m:
\(\frac{9\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}\ge4\)
\(\Rightarrow9\left(ab+bc+ca\right)\ge4\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow17\left(ab+bc+ca\right)\ge8\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Bt làm đến đây thôi.
Nguyễn Việt Lâm Làm tiếp với.
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :
\(\left(a+b+c+1\right)^2=\left(a.1+\sqrt{3}.\frac{b+c+1}{\sqrt{3}}\right)^2\le\left(a^2+3\right)\left[1+\frac{\left(b+c+1\right)^2}{3}\right]\)
Từ đó bài toán đưa về :
\(\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left[1+\frac{\left(b+c+1\right)^2}{3}\right]\)
\(\Leftrightarrow b^2c^2+3b^2+3c^2+9\ge4+\frac{4}{3}\left(b^2+c^2+2bc+2b+2c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow b^2c^2+\frac{5}{3}b^2+\frac{5}{3}c^2+\frac{11}{3}\ge\frac{8}{3}bc+\frac{8}{3}b+\frac{8}{3}c\)
\(\Leftrightarrow b^2c^2+1-2bc+\frac{b^2+c^2-2bc}{3}+\frac{4}{3}\left(b^2-2b+1\right)+\frac{4}{3}\left(c^2-2c+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(bc-1\right)^2+\frac{\left(b-c\right)^2}{3}+\frac{4}{3}\left(b-1\right)^2+\frac{4}{3}\left(c-1\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy ....