Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề đung đúng :D
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge2\left(\dfrac{ab+bc-ca}{abc}\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc-ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c+a-b\right)^2\ge0\)
Vậy ta có đpcm
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\leq \frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)
\(\leq \frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{2abc}=\frac{a+b+c}{2abc}=\text{VP}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Câu 3. Dự đoán dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Dùng phương pháp chọn điểm rơi thôi :)
LG
Áp dụng bđt Cô-si được \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{27}\ge a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{27}}\ge abc\)
Khi đó :\(B=a+b+c+\frac{1}{abc}\)
\(=a+b+c+\frac{1}{9abc}+\frac{8}{9abc}\)
\(\ge4\sqrt[4]{abc.\frac{1}{9abc}}+\frac{8}{9.\frac{1}{\sqrt{27}}}\)
\(=4\sqrt[4]{\frac{1}{9}}+\frac{8\sqrt{27}}{9}=\frac{4}{\sqrt[4]{9}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy .........
2, \(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
\(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
\(A=\left[\frac{a^2}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{b^2}{a+c}+\frac{\left(a+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{c^2}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)}{4}\right]-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{b^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{c^2}{4}}-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(A\ge a+b+c-\frac{6}{2}\)
\(A\ge6-3\)
\(A\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{4}\Leftrightarrow4a^2=\left(b+c\right)^2\Leftrightarrow2a=b+c\)(1)
\(\frac{b^2}{a+c}=\frac{a+c}{4}\Leftrightarrow4b^2=\left(a+c\right)^2\Leftrightarrow2b=a+c\)(2)
\(\frac{c^2}{a+b}=\frac{a+b}{4}\Leftrightarrow4c^2=\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow2c=a+b\)(3)
Lấy \(\left(1\right)-\left(3\right)\)ta có:
\(2a-2c=c+b-a-b=c-a\)
\(\Rightarrow2a-2c-c+a=0\)
\(\Leftrightarrow3.\left(a-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a-c=0\Leftrightarrow a=c\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}b=c\\a=b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a=b=c=2\)
Vậy \(A_{min}=3\Leftrightarrow a=b=c=2\)
a/ Xét hiệu: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng) (đpcm)
''='' xảy ra khi a = b
b/ Sửa đề chút nhé: CMR:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\)
Áp dụng bđt AM-GM có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}}=2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\);
Tương tự ta có:
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}}\); \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ac}}\)
Cộng 2 vế ba bđt trên ta được:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\left(đpcm\right)\)
''='' xảy ra khi a = b = c
Từ \(a+b+c=1\Rightarrow2\left(a+b+c\right)=2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)=2\)
Và BĐT trên tương đương với
\(VT=\dfrac{c+ab}{a+b}+\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ac}{a+c}\)
\(=\dfrac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}+\dfrac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}\)
\(=\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=x\\b+c=y\\c+a=z\end{matrix}\right.\)\(\left(x,y,z>0\right)\) thì ta có:
\(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge2\)\(\forall\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+y+z=2\end{matrix}\right.\)
Đúng theo BĐT AM-GM
tại sao khúc cuối lại đúng với BĐT AM-GM? giải thích giúp mình được không?