Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta sử dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)(cái này bạn có thể dễ dàng chúng minh )
ta có
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\)(1)
tương tự ta có
\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) (2)
\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)(3)
cộng theo vế của bđt (1);(2);(3) ta có
\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
hay \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Đặt \(A=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\left(a,b,c>0\right)\).
Ta có:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{a\left(a^2+b^2-b^2\right)}{a^2+b^2}=\frac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\).
Vì \(a,b>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(a^2+b^2\ge2ab\).
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2}\le\frac{1}{2ab}\).
\(\Leftrightarrow\frac{ab^2}{a^2+b^2}\le\frac{ab^2}{2ab}=\frac{b}{2}\).
\(\Rightarrow\frac{-ab^2}{a^2+b^2}\ge\frac{-b}{2}\).
\(\Leftrightarrow a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\).
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\left(1\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\).với \(b,c>0\)\(\left(2\right)\)
Dấu bẳng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)với \(a,c>0\)\(\left(3\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\)\(\ge\)\(a+b+c-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}\).
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{a+b+c}{2}\).
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{6}{2}\)(vì \(a+b+c=6\)).
\(\Leftrightarrow A\ge3\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\a+b+c=6\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=2\).
Vậy nếu \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=6\)thì:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge3\).
Không làm mất tính tổng quát của bài toán, giả sử \(a\ge b\ge c\)(1)
Có \(\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}=\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
Từ (1) => \(\hept{\begin{cases}\frac{2}{a}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\\frac{2}{b}\le\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\\frac{2}{c}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{2}{a}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\\\sqrt{\frac{2}{b}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\\\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}\end{cases}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\)
Ta có đpcm
Do a,b,c là 3 cạnh tam giác nên \(a+b-c>0;b+c-a>0;c+a-b>0\)
Đặt \(x=b+c-a>0\)
\(y=a+c-b>0\)
\(z=a+b-c>0\)
\(\Rightarrow a=\frac{"y+z"}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{"x+z"}{2}\)
\(\Rightarrow c=\frac{"x+y"}{2}\)
\(A=\frac{a}{"b+c-a"}+\frac{b}{"a+c-b"}+\frac{c}{"a+b-c"}\)
\(=\frac{"y+z"}{"2x"}+\frac{"x+z"}{"2y"}+\frac{"x+y"}{"2z"}\)
\(=\frac{1}{2}."\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\)
Áp dụng công thức bdt Cauchy cho 2 số :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)
Cộng 3 bdt trên, suy ra :
\("\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\ge6\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}.6=3\) "dpcm"
P/s: Nhớ thay thế dấu ngoặc kép thành dấu ngoặc đơn nhé
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ca-a^2}+\frac{b^2}{ab+bc-b^2}+\frac{c^2}{ca+bc-c^2}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2}\)
\(\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2ab+2bc+2ca-ab-bc-ca}=3\)
Đặt:
x = a + c - b ; y = a + b - c ; z = b + c - a > 0 vì a; b ; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
=> x + y + z = a + b + c
=> a = \(\frac{x+y}{2}\); b = \(\frac{y+z}{2}\); c = \(\frac{x+z}{2}\)
=> 3a - b + c = 2 a + ( a - b + c ) = ( x + y ) + x = 2x + y
Tương tự: 3b - c + a = 2y + z ; 3c - a + b = x + 2z
Đưa về bài toán: Chứng minh:
\(\frac{x+y}{2\left(2x+y\right)}+\frac{y+z}{2\left(2y+z\right)}+\frac{z+x}{2\left(2z+x\right)}\ge1\)
<=> \(\frac{2x+2y}{2x+y}+\frac{2y+2z}{2y+z}+\frac{2z+2x}{2z+x}\ge4\)(1)
Ta có: VT = \(1+\frac{y}{2x+y}+1+\frac{z}{2y+z}+1+\frac{x}{2z+x}\)
\(=3+\left(\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\right)\)
\(=3+\left(\frac{y^2}{2xy+y^2}+\frac{z^2}{2yz+z^2}+\frac{x^2}{2zx+x^2}\right)\)
\(\ge3+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=3+1=4\)
=> (1) đúng
=> Bất đẳng thức ban đầu đúng
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c
Đặt: \(b+c-a=x;c+a-y=y;a+b-c=z\)
=> \(2a=y+z;2b=x+z;2c=x+y\)
T có:
\(\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\)
Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương ta có:
\(\frac{y}{z}+\frac{x}{y}\ge2;\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2;\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\ge2\)
=>\(2\left(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\right)\ge6\)
=>\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
Đặt \(\begin{cases}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y+z=2a\Rightarrow a=\frac{y+z}{2}\\x+z=2b\Rightarrow b=\frac{x+z}{2}\\x+y=2c\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}\end{cases}\)
Vì \(x;y;z>0\) vì \(a,b,c\) là các cạnh của tam giác nên \(\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}\)
Vế trái cho ta :
\(\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+2.\frac{z}{x}.\frac{x}{z}+2.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}.6=3\)
Vậy \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\). ( ĐPCM )