Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do 0 < a,b,c < 1 nên (a - 1)(b - 1)(c - 1) < 0
hay abc < ab + bc + ca - (a + b + c) + 1 = ab + bc + ca - 1
suy ra:a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca - 1) = (a + b + c)2 - 2 = 22 - 2 = 2
a, b, c là độ dài 3 cạnh của tgiác nên ta có: b+c > a => ab+ac > a²
tương tự: bc+ab > b²; ca+bc > c²
cộng lại: 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² (*)
g thiết: 4 = (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² + a²+b²+c² {ad (*)}
=> 2 > a²+b²+c² (đpcm)
Ta thấy trong tam giác tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại
Ta có: \(a+b>c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2>c^2\)
\(\Rightarrow c\left(a+b\right)^2>c^3\)
Tương tự:
\(a\left(b+c\right)^2>a^3\)
\(b\left(a+c\right)^2>b^3\)
do đó \(a\left(b+c\right)^2+b\left(a+c\right)^2+c\left(a+b\right)^2>a^3+b^3+c^3\left(ĐPCM\right)\)
Ta có:
\(a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2-a^3-b^3-c^3\)
\(=\left[a\left(b-c\right)^2-a^3\right]+\left[b\left(c-a\right)^2-b^3\right]+\left[c\left(a+b\right)^2-c^3\right]\)
\(=a\left[\left(b-c\right)^2-a^2\right]+b\left[\left(c-a\right)^2-b^2\right]+c\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
\(=a\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)+b\left(c-a-b\right)\left(c-a+b\right)+c\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=a\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)-b\left(c-a-b\right)\left(a+b-c\right)+c\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b-c\right)\left[a\left(b-c-a\right)-b\left(c-a+b\right)+c\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=\left(a+b-c\right)\left(ab-ac-a^2-bc+ab-b^2+ca+cb+c^2\right)\)
\(=\left(a+b-c\right)\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\)
\(=\left(a+b-c\right)\left[c^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)\right]\)
\(=\left(a+b-c\right)\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\)
\(=\left(a+b-c\right)\left(c-a+b\right)\left(c+a-b\right)\)
vì a, b, c là cạnh của 1 tam giác
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\c-a+b>0\\c+a-b>0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2-a^3-b^3-c^3>0\)
\(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2>a^3+b^3+c^3\)\(\left(đpcm\right)\)