Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta chứng minh bổ đề sau:
\(\dfrac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le2ab^2+6b^3-a^2b-3b^2a\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-b^2a\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng, vậy ta có
\(M\le2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c\)Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Ta có \(\frac{4a^2}{a-1}=\frac{4a^2-4+4}{a-1}=\frac{4\left(a^2-1\right)+4}{a-1}\)
\(=\frac{4\left(a-1\right)\left(a+1\right)+4}{a-1}=4\left(a+1\right)+\frac{4}{a-1}\)
\(=4\left(a-1\right)+\frac{4}{a-1}+8\)
Vì \(a>1\Rightarrow a-1>0\), áp dụng bđt cosi cho 2 số 4(a-1) và \(\frac{4}{a-1}\)ta được
\(4\left(a-1\right)+\frac{4}{a-1}\ge2\sqrt{\frac{4\left(a-1\right).4}{a-1}}=2\sqrt{4^2}=8\)
\(\Leftrightarrow4\left(a-1\right)+\frac{4}{a-1}+8\ge16\)
\(\Leftrightarrow\frac{4a^2}{a-1}\ge16\) (1)
Chững minh tương tự, ta được
\(\frac{5b^2}{b-1}\ge20\) (2)
\(\frac{3c^2}{c-1}\ge12\) (3)
Cộng (1)(2)(3) ta được
\(\frac{4a^2}{a-1}+\frac{5b^2}{b-1}+\frac{3b^2}{c-1}\ge48\)
\(+\frac{20b^3-\left(a^3+b^3\right)}{ab+5b^2}\le\frac{20b^3-ab\left(a+b\right)}{ab+5b^2}=\frac{b\left(20b^2-a^2-ab\right)}{b\left(a+5b\right)}=\frac{\left(4b-a\right)\left(a+5b\right)}{a+5b}=4b-a\)
( áp dụng bđt : \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) ( biến đổi tương đương là c/m đc ) )
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)
+ Tương tự : \(\frac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}\le4c-b\) Dấu "=" <=> b = c
\(\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le4a-c\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=c\)
Cộng vế theo vế ta có đpcm. Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 2:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
Trước hết ta chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\)\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\). Ta lại có:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Thiết lập các BĐT tương tự:
\(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c};\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge2\)
Dấu "=" không xảy ra nên ta có ĐPCM
Lưu ý: lần sau đăng từng bài 1 thôi nhé !
1) Áp dụng liên tiếp bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với a;b là 2 số dương ta có:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}}{4}\)\(\le\dfrac{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
TT: \(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}{16}\)
\(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{16}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=1\left(đpcm\right)\)
áp dụng bdt côsi \(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{3}{b}\)
tuông tu \(\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{3}{c}\)
\(\dfrac{c^2}{a^3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{3}{a}\)
suy ra vt +\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
suy ra dpcm
dau = xay ra khi a=b=c
Áp dụng BĐT: x2+y2+z2\(\ge\)xy+yz+zx ( với x,y,z >0)
Ta có\(\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\)\(\ge\)\(\dfrac{a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4}{a^3b^3c^3}\)
\(\ge\)\(\dfrac{a^4b^2c^2+b^4c^2a^2+c^4a^2b^2}{a^3b^3c^3}\)=\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\)\(\ge\)\(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\)
= \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a=b=c
qua vo van
Thôi làm luôn nãy h chém nhiều mỏi tay quá. Bổ sung điều kiện a;b;c>1
\(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{5b^2}{b-1}+\dfrac{3c^2}{c-1}\ge48\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{4a^2}{a-1}-16\right)+\left(\dfrac{5b^2}{b-1}-20\right)+\left(\dfrac{3c^2}{c-1}-12\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{4a^2-16a+16}{a-1}+\dfrac{5b^2-20b+20}{b-1}+\dfrac{3c^2-12c+12}{c-1}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{4\left(a-2\right)^2}{a-1}+\dfrac{5\left(b-2\right)^2}{b-1}+\dfrac{3\left(c-2\right)^2}{c-1}\ge0\) (đúng)
Dấu "=" khi \(a=b=c=2\)