Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Giả sử:
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
=> đpcm
b, Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương \(\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ca}{b};\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ab}{c};\frac{ca}{b}\)và \(\frac{ab}{c}\)
Ta lần lượt có : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c;\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b;\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}\)
Cộng từng vế ta đc bất đẳng thức cần chứng minh . Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c\)
c, Với các số dương \(3a\) và \(5b\), Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(\frac{3a+5b}{2}\ge\sqrt{3a.5b}\)
\(\Leftrightarrow\left(3a+5b\right)^2\ge4.15P\)( Vì \(P=a.b\))
\(\Leftrightarrow12^2\ge60P\)\(\Leftrightarrow P\le\frac{12}{5}\Rightarrow maxP=\frac{12}{5}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(3a=5b=12:2\)
\(\Leftrightarrow a=2;b=\frac{6}{5}\)
\(y=\frac{\sqrt{2017\left(x-2015\right)}}{\sqrt{2017}\left(x+2\right)}+\frac{\sqrt{2016\left(x-2016\right)}}{\sqrt{2016}x}\le\frac{1}{2\sqrt{2017}}+\frac{1}{2\sqrt{2016}}\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(x=4032\)
Cauchy-SChwarz:
\(VT=\sum_{cyc}\frac{ab}{a^2+ab+bc}\le\frac{\sum_{cyc}\left(a^2b^2+ab^2c+abc^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=1\)
Dau "=" khi a=b=c\(\in R^+\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)\(\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}\)=\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{b+\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(2)
\(\frac{c}{c+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(3)
Cộng theo vế của (1);(2)&(3) ta đc:
A\(\le1\)
Dấu''='' xảy ra\(\Leftrightarrow\)a=b=c
\(\Sigma\frac{a}{1+a}=\Sigma\frac{1}{16}a\left(\frac{16}{a+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}\right)\le\Sigma\frac{1}{16}a\left(\frac{1}{a}+9\right)=\frac{3}{4}\)
4.
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
5.
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
1.
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
2.
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)
3.
Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:
\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)
Bài 1:
a) Để x là số âm <=>x<0
<=> \(\frac{a-4}{7}< 0\Leftrightarrow a-4< 0\Leftrightarrow a< 4\)
b) Để x là số dương <=> x>0
<=> \(\frac{a-4}{7}>0\Leftrightarrow a-4>0\Leftrightarrow a>4\)
c) x k phải là số âm k phải là số dương <=>x=0
<=> \(\frac{a-4}{7}=0\Leftrightarrow a-4=0\Leftrightarrow a=4\)
\(A=\frac{1}{6}\left(6-2x\right)\left(12-3y\right)\left(2x+3y\right)\)
\(A\le\frac{1}{6}\left(\frac{6-2x+12-3y+2x+3y}{3}\right)^3=36\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\end{matrix}\right.\)
\(A=\frac{\frac{ab}{\sqrt{2}}\sqrt{2\left(c-2\right)}+\frac{bc}{\sqrt{3}}\sqrt{3\left(a-3\right)}+\frac{ca}{2}\sqrt{4\left(b-4\right)}}{abc}\)
\(A\le\frac{\frac{abc}{2\sqrt{2}}+\frac{abc}{2\sqrt{3}}+\frac{abc}{4}}{abc}=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=8\\c=4\end{matrix}\right.\)
Ta co:
\(\text{ }P=\Sigma_{cyc}\frac{ab}{2016-c}=\Sigma_{cyc}\frac{ab}{a+b}\le\Sigma_{cyc}\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}{a+b}=\Sigma_{cyc}\frac{a+b}{4}=1008\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=672\)