PP
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
3 tháng 4 2020
1)Cho a,b,c >0
Chứng minh bc/a^2(b+c) + ca/b^2(c+a) +ab/c^2(a+b) > hoặc = 1/2(1/a+1/b+1/c)
2) Cho a,b,c>0 1/a + 1/b + 1/c =1
Chứng minh (b+c)/a^2 + (c+a)/b^2 + (a+b)/c^2 > hoặc = 2
Đọc tiếp...
11 tháng 5 2019
Câu a : Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\\\frac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{b^2}{c}.c}=2b\\\frac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\frac{c^2}{a}.a}=2c\end{matrix}\right.\)
Cộng từng vế của BĐT ta thu được :
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\) ( đpcm )
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
L
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 1 2019
Lời giải:
\(abc=(1-a)(1-b)(1-c)\Rightarrow \frac{1-a}{a}.\frac{1-b}{b}.\frac{1-c}{c}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1-a}{a};\frac{1-b}{b}; \frac{1-c}{c}\right)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=\left(\frac{1}{x+1}; \frac{1}{y+1}; \frac{1}{z+1}\right)\)
Bài toán trở thành
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$. CMR:
\(A=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}\)
------------------------
Thật vậy:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x+1)^2\leq (x+\frac{1}{y})(x+y)\Rightarrow \frac{1}{(x+1)^2}\geq \frac{y}{(xy+1)(x+y)}\)
\((y+1)^2\leq (y+\frac{1}{x})(y+x)\Rightarrow \frac{1}{(y+1)^2}\geq \frac{x}{(xy+1)(x+y)}\)
\(\Rightarrow A\geq \frac{y}{(xy+1)(x+y)}+\frac{x}{(xy+1)(x+y)}+\frac{1}{(z+1)^2}\)
\(A\geq \frac{x+y}{(xy+1)(x+y)}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2}\)
\(A\geq \frac{1}{\frac{1}{z}+1}+\frac{1}{(z+1)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}(*)\)
Mà \(\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}-\frac{3}{4}=\frac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}\geq 0\Rightarrow \frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow A\geq \frac{3}{4}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
NM
0
9 tháng 6 2018
Bài 6 . Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)
⇔ ( a + b)2 ≥ 4ab
⇔ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)≥ ab
⇔ \(\dfrac{a+b}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) ( 1 )
CMTT , ta cũng được : \(\dfrac{b+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{bc}{b+c}\) ( 2) ; \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ac}{a+c}\)( 3)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , Ta có :
\(\dfrac{a+b}{4}\) + \(\dfrac{b+c}{4}\) + \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)
⇔ \(\dfrac{a+b+c}{2}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)
9 tháng 6 2018
Bài 4.
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương a , b, c , ta có :
\(1+\dfrac{a}{b}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) ( a > 0 ; b > 0) ( 1)
\(1+\dfrac{b}{c}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{b}{c}}\) ( b > 0 ; c > 0) ( 2)
\(1+\dfrac{c}{a}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\) ( a > 0 ; c > 0) ( 3)
Nhân từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta được :
\(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\) ≥ \(8\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}=8\)