T
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
23 tháng 6 2019
Đặt a - 1 = x > 0; b - 1 = y > 0
\(A=\frac{\left(x+1\right)^2}{x}+\frac{\left(y+1\right)^2}{y}\\ A=\frac{x^2+2x+1}{x}+\frac{y^2+2y+1}{y}\\ A=\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+4\)
Với x > 0; y > 0, theo BĐT AM-GM ta có:
\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}\Rightarrow x+\frac{1}{x}\ge2\)
\(y+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{y.\frac{1}{y}}\Rightarrow y+\frac{1}{y}\ge2\)
\(\Rightarrow A\ge8\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 => a = b = 2
Vậy...
20 tháng 10 2021
Ta có: \(4=\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\)
\(\le\frac{a+b}{2}+\frac{a+1}{2}+\frac{b+1}{2}+1\Rightarrow a+b\ge2\)
Do đó \(P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\ge2\)
Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1
29 tháng 9 2019
Áp dụng bđt bunhiacopski có:
\(\left(a^4+1\right)\left(1+4^2\right)\ge\left(a^2+4\right)^2\)
=> \(\sqrt{a^4+1}\ge\sqrt{\frac{\left(a^2+4\right)^2}{1+4^2}}=\frac{a^2+4}{\sqrt{17}}\)(1)
Tương tự cx có: \(\sqrt{b^4+1}\ge\frac{b^2+4}{\sqrt{17}}\) (2)
Từ (1),(2) => \(F\ge\frac{a^2+b^2+8}{\sqrt{17}}\)
Có (a+2)(b+2)=\(\frac{25}{4}\)
=> \(ab+2a+2b+4=\frac{25}{4}\) <=> \(ab+2a+2b=\frac{9}{4}\)
Áp dụng cosi có:
\(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
\(2a\le2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\)
\(2b\le2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\)
=> \(\frac{a^2+b^2}{2}+2a^2+\frac{1}{2}+2b^2+\frac{1}{2}\ge ab+2a+2b=\frac{9}{4}\)
<=> \(\frac{a^2+b^2+4a^2+4b^2}{2}\ge\frac{9}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{5}{4}\)
<=> \(\frac{5\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\frac{5}{4}\)
<=> \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Thay \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\) vào F có:
\(F\ge\frac{\frac{1}{2}+8}{\sqrt{17}}\)
<=> F \(\ge\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=>\(a=b=\frac{1}{2}\)
NT
1
VT
6 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT Min-côp-xki, ta có \(\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\ge\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}=\sqrt{4+\left(a^2+b^2\right)^2}\)
Mà \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\dfrac{9}{4}\Rightarrow a+b+ab=\dfrac{5}{4}\)
Vì \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge\dfrac{5}{4}\)
\(\Rightarrow4m+m^2-5\ge0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m+5\right)\ge0\Rightarrow m\ge1\)(với m=a+b)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\Rightarrow\sqrt{4+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\dfrac{\sqrt{17}}{2}\)
=> \(\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\ge\dfrac{\sqrt{17}}{2}\)
7 tháng 12 2015
\(P=\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-9}}{c}\)
Vì \(a=\left(a-1\right)+1\ge2\sqrt{\left(a-1\right).1}=2\sqrt{a-1}\)
\(b=\left(b-4\right)+4\ge2\sqrt{\left(b-4\right).4}=4\sqrt{b-4}\)
\(c=\left(c-9\right)+9\ge2\sqrt{\left(c-9\right).9}=6\sqrt{c-9}\)
=>\(P\le\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}\)
P max = 11/12 khi a=2; b=8; c =18
kingstorm3333
maianh2207