Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(2a^2+a=3b^2+b\Leftrightarrow2a^2+a-3b^2-b=0\Leftrightarrow2a^2+2ab+a-2ab-2b^2-b=b^2\Leftrightarrow a\left(2a+2b+1\right)-b\left(2a+2b+1\right)=b^2\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)
Gọi (a-b,2a+2b+1)=d\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)⋮d\\\left(2a+2b+1\right)⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(2a+ab+1\right)⋮d^2\)\(\Rightarrow b^2⋮d^2\Rightarrow b⋮d\)
Mà (a-b)\(⋮d\)
Suy ra a\(⋮d\Rightarrow2a+2b⋮d\)
Mà (2a+2b+1)\(⋮d\)
Suy ra \(1⋮d\)\(\Rightarrow d=1\)
Vậy (a-b,2a+2b+1)=1\(\Rightarrow\dfrac{a-b}{2a+2b+1}\) là phân số tối giản
\(a^2+b^2+3ab⋮5\)
\(\Leftrightarrow6a^2+12ab+6b^2⋮5\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+3b\right)\left(3a+2b\right)⋮5\)
Giả sử \(2a+3b⋮5\) (1)
Mà \(9\left(2a+3b\right)-\left(3a+2b\right)=15a+25b⋮5\)
\(\Rightarrow3a+2b⋮5\) (2)
Mặt khác 5 là số nguyên tố (3)
Từ (1)(2)(3) \(\Rightarrow\left(2a+3b\right)\left(3a+2b\right)⋮25\)
Lời giải:
Ta có: \(a^2b+b^2c+c^2a\geq \frac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow (a^2b+b^2c+c^2a)(1+2a^2b^2c^2)\geq 9a^2b^2c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^3+2a^3b^2c^4\geq 3a^2b^2c^2(a+b+c)(*)\)
--------------------------
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2b+a^4b^3c^2+a^3b^2c^4\geq 3\sqrt[3]{a^9b^6c^6}=3a^3b^2c^2\)
\(b^2c+a^2b^4c^3+a^4b^3c^2\geq 3a^2b^3c^2\)
\(c^2a+a^3b^2c^4+a^2b^4c^3\geq 3a^2b^2c^3\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^3+2a^3b^2c^4\geq 3a^2b^2c^2(a+b+c)\)
Vậy $(*)$ đúng
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Lời giải:
Ta có:
\(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow 2(a^2-b^2)+(a-b)=b^2\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(2a+2b+1)=b^2\)
Giả sử $a-b, 2a+2b+1$ không nguyên tố cùng nhau. Khi đó, giữa $a-b,2a+2b+1$ sẽ tồn tại ước nguyên tố chung.
Gọi p là ước nguyên tố chung của \(a-b, 2a+2b+1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b\vdots p\\ 2a+2b+1\vdots p\end{matrix}\right.\)
Vì \((a-b)(2a+2b+1)=b^2\Rightarrow b^2\vdots p\Rightarrow b\vdots p\)
\(\left\{\begin{matrix} b\vdots p\\ a-b\vdots p\end{matrix}\right.\rightarrow a\vdots p\)
\(\left\{\begin{matrix} a\vdots p\\ b\vdots p\\ 2a+2b+1\vdots p\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots p\) (vô lý)
Vậy $a-b,2a+2b+1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của 2 số đó là một số chính phương nên bản thân mỗi số cũng là số chính phương.
Do đó \(2a+2b+1\) là số chính phương.
B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc
Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.