Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có a2 + b2 = 4 <=> 2ab = (a + b)2 - 4
Ta có \(\frac{ab+a+b+2}{a+b+2}=1+\frac{ab}{a+b+2}\)
= \(1+\frac{\left(a+b\right)^2-4}{2\left(a+b+2\right)}\)
= \(1+\frac{a+b-2}{2}\)(1)
Mà \(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\le a^2+b^2=4\)
<=> a + b \(\le\)\(2\sqrt{2}\)
Từ đó <=> (1) \(\le\)\(\sqrt{2}\)
Từ đó => P \(\sqrt[4030]{2}\)
Đạt được khi a = b = \(\sqrt{2}\)
\(B=\frac{ab}{a+b+2}\Rightarrow2B=\frac{2ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-a^2-b^2}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\)
Do a ; b không âm , áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số , ta có :
\(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{2.4}=\sqrt{8}\)
\(\Rightarrow a+b-2\le\sqrt{8}-2\)
\(\Rightarrow2B\le\sqrt{8}-2\Rightarrow B\le\sqrt{2}-1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)
Do x ; y không âm , \(x^2+y^2=1\)
\(\Rightarrow\left|x\right|;\left|y\right|\le1\) \(\Rightarrow0\le x;y\le1\)
\(\Rightarrow x\ge x^2;y\ge y^2\Rightarrow x+y\ge x^2+y^2=1\)
\(x,y\ge0\Rightarrow xy\ge0\)
Ta có : \(A=\sqrt{5x+4}+\sqrt{5y+4}\)
\(\Rightarrow A^2=5x+4+5y+4+2\sqrt{\left(5x+4\right)\left(5y+4\right)}\)
\(=5\left(x+y\right)+8+2\sqrt{25xy+20y+20x+16}\)
\(\ge5.1+8+2\sqrt{25.0+20.1+16}=13+2.6=25\)
\(\Rightarrow A\ge5\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0;y=1\\x=1;y=0\end{matrix}\right.\)
Ta có :(a+b-c)2 \(\ge\) 0
<=>a2+b2+c2 \(\ge\) 2(bc-ab+ac)
<=>\(\frac{5}{3}\ge\) 2(bc-ab+ac)
<=>bc+ac-ab \(\le\frac{5}{6}< 1\)
<=>\(\frac{bc+ac-ab}{abc}< \frac{1}{abc}\) (vì a,b,c>0 nên chia cả 2 vế cho abc)
<=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< 1\) (đpcm)
\(A=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\left(\sqrt{100}+\sqrt{99}\right)}\)
\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)
\(=\sqrt{100}-1=9\)
\(B=\frac{2}{2}+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{35}}\)
\(B>\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{36}}\)
\(B>2\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+...+\frac{\sqrt{36}-\sqrt{35}}{\left(\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\left(\sqrt{36}+\sqrt{35}\right)}\right)\)
\(B>2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\)
\(B>2\left(\sqrt{36}-1\right)=10>9=A\)
\(\Rightarrow B>A\)
Để biểu thức B có nghĩa thì \(xy\ne0\)
Khi đó ta có:
\(x^3+y^3=2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)^2=4x^4y^4\)
\(\Leftrightarrow x^6+y^6+2x^3y^3=4x^4y^4\)
\(\Leftrightarrow x^6+y^6-2x^3y^3=4x^4y^4-4x^3y^3\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^3\right)^2=4x^4y^4\left(1-\frac{1}{xy}\right)\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{xy}=\left(\frac{x^3-y^3}{2x^2y^2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{xy}}=\left|\frac{x^3-y^3}{2x^2y^2}\right|\) là một số hữu tỉ
Làm chữa lỗi phát:v Đến giờ mới nghĩ ra(thực ra là tình cờ xem lại ngày xưa:(
\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)2ab}}{a^2+b^2}\ge\Sigma\frac{2ab}{a^2+b^2}+3-3\)
\(=\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}-3\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3\)
\(=\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2}-3\)
\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}-3=1\)(qed)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 0 và các hoán vị (xét sơ sơ thôi chớ xét chi tiết em không biết làm đâu:v)
P.s: Chả biết có đúng hay không nữa:(( Lần này mà không đúng thì khổ.