CN
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ND
17 tháng 4 2018
2)
Xét hiệu:
\(A^2+B^2+C^2+D^2+4-2A-2B-2C-2D\)
\(=\left(A^2-2A+1\right)+\left(B^2-2B+1\right)+\left(C^2-2C+1\right)+\left(D^2-2D+1\right)\)
\(=\left(A-1\right)^2+\left(B-1\right)^2+\left(C-1\right)^2+\left(D-1\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
Vậy \(A^2+B^2+C^2+D^2+4\ge2\left(A+B+C+D\right)\)
ND
17 tháng 4 2018
1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta có:
\(\dfrac{AB}{C}+\dfrac{BC}{A}\ge2\sqrt{\dfrac{AB}{C}.\dfrac{BC}{A}}=2B\) (1)
\(\dfrac{BC}{A}+\dfrac{AC}{B}\ge2\sqrt{\dfrac{BC}{A}.\dfrac{AC}{B}}=2C\) (2)
\(\dfrac{AB}{C}+\dfrac{AC}{B}\ge2\sqrt{\dfrac{AB}{C}.\dfrac{AC}{B}}=2A\) (3)
Từ (1)(2)(3) cộng vế theo vế:
\(2\left(\dfrac{AB}{C}+\dfrac{AC}{B}+\dfrac{BC}{A}\right)\ge2\left(A+B+C\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{C}+\dfrac{AC}{B}+\dfrac{BC}{A}\ge A+B+C\)
L
1
KK
24 tháng 1 2017
Ta có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=4\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ac\)
\(\Leftrightarrow0=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\)
\(\Leftrightarrow0=a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\)
\(\Leftrightarrow0=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
Mà \(\left\{\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=b=c\) ( đpcm )
22 tháng 9 2020
Bài làm :
Bình phương hai vế của a + b + c = 0 ta được :
\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\) ( 1 )
Bình phương hai vế của ( 1 ) ta được :
\(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\) ( vì a + b + c = 0 nên 2abc . 0 = 0 )
=> đpcm
Phần còn lại tương tự bạn tự làm nhé
Học tốt
KN
22 tháng 9 2020
Ta có :
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)( 1 )
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)( 2 )
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)( 3 )
Ta lại có :
\(\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc.0\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)( 4 )
Thay ( 4 ) vào ( 2 ) ta được :
\(a^4+b^4+c^4+2\left(ab+bc+ca\right)^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)( 5 )
Từ ( 1 ) => \(ab+bc+ca=\frac{-a^2-b^2-c^2}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)^2=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\)( 6 )
Từ ( 3 ) ; ( 5 ) và ( 6 ) => Đpcm
Y
1 tháng 8 2018
a) Ta có:
\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=4\left[a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Mình đang bận nên chút về mình làm tiếp nha, sorry 
1 tháng 7 2017
mk chỉnh sửa lại đề bài chút nhoa
c,\(\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\)
NN
1
ND
3
13 tháng 3 2018
a)AM-GM:
\(a^4+a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4\cdot a^4\cdot b^4\cdot c^4}=4a^2bc\)
\(a^4+b^4+b^4+c^4\ge4ab^2c\)
\(a^4+b^4+c^4+c^4\ge4abc^2\)
Cộng vế theo vế ta được:
4\(\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4a^2bc+4ab^2c+4abc^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
13 tháng 3 2018
1 cách khác: \(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\ge2\sqrt{a^2b^4c^2}+2\sqrt{b^2a^2c^4}+2\sqrt{a^4b^2c^2}\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge ab^2c+abc^2+a^2bc=abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
tương tự với câu b
29 tháng 5 2022
Bài 2:
a+b+c+d=0
nên b+c=-(a+d)
\(a^3+b^3+c^3+d^3\)
\(=\left(a+d\right)^3-3ad\left(a+d\right)+\left(b+c\right)^3-3bc\left(b+c\right)\)
\(=-\left(b+c\right)^3+3ad\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^3-3bc\left(b+c\right)\)
\(=3ad\left(b+c\right)-3bc\left(b+c\right)\)
\(=\left(b+c\right)\left(3ad-3bc\right)\)
\(=3\left(b+c\right)\left(ad-bc\right)\)
26 tháng 5 2015
p giúp mk câu b đk k? Mk đọc mãi cũng không hiểu lắm câu a thì làm đk r
Triển khai vế trái ra, xong chuyển hết sang vế phải ta dc: (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
suy ra a-b=0, b-c=0, c-a=0. Vậy a=b=c
Triển khai vế trái ra, xong chuyển hết sang vế phải ta dc: (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
suy ra a-b=0, b-c=0, c-a=0. Vậy a=b=c