Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\text{a) }\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(1\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2\sqrt{ab}}{2}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge0\left(2\right)\)
BDT (2) luôn đúng \(\forall x\) nên BDT (1) luôn đúng \(\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}=\sqrt{b}\\ \Leftrightarrow a=b\)
Vậy \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) đẳng thức xảy ra khi: \(a=b\)
b) Áp dụng BDT Cô-si có:
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\\ \dfrac{a+c}{2}\ge\sqrt{ac}\\ \dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+c}{2}+\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b+a+c+b+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\\ \Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\)
Vậy \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\) đẳng thức xảy ra khi : \(a=b=c\)
b) \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)
Vì BĐT cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT ban đầu luôn đúng
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
c) \(a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\right)+\left(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đôi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}\)
a) bđt cosi
b) \(\left(\sqrt{a+b}\right)=a+b\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\)
\(a+b+2\sqrt{ab}>a+b\)
=> đpcm
c) xét hiệu \(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}+b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\ge0\)
d)https://olm.vn/hoi-dap/question/1003405.html
nè ngại làm
\(\sqrt{a-b}\ge\sqrt{a}-\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow a-b\ge\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a-b\ge a-2\sqrt{ab}+b\)
\(\Leftrightarrow a-b-a+2\sqrt{ab}-b\ge0\)
\(\Leftrightarrow-2b+2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\)(*)
Vì \(a\ge b\Leftrightarrow\sqrt{a}\ge\sqrt{b}\Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}\ge0\)
Do đó (*) luôn đúng
Ta có đpcm.
a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{2c}}}+\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{c+\sqrt{a+\sqrt{2b}}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+Σ\sqrt{b+\sqrt{2c}}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
Đặt \(A^2=\left(\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
\(=3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\)
Đặt tiếp: \(B^2=\left(\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)^2\)
\(\le2\cdot\left(1+1+1\right)\left(a+b+c\right)\le36\Rightarrow B\le6\)
\(\Rightarrow A^2\le3\left(6+\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\right)\le3\cdot12=36\Rightarrow A\le6\)
\(\Rightarrow VT^2\le3\left(6+\sqrt{b+\sqrt{2c}+\sqrt{c+\sqrt{2a}}}+\sqrt{a+\sqrt{2b}}\right)\)
\(\le3\left(6+6\right)=3\cdot12=36\Rightarrow VT\le6=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=2\)
i don not no
câu này đơn giản quá, ko thích hợp vs người đẳng cấp như anh dây đâu
câu này ai giải đc cho tui 10000
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(2a+2b+2\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{a}+1\right)+\left(b-2\sqrt{b}+1\right)+\left(a+b-2\sqrt{ab}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-1\right)^2+\left(\sqrt{b}-1\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng với a;b không âm)
Vậy BĐT đã cho được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1\)
Áp dụng bđt côsi với các số không âm ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\\ a+1\ge2\sqrt{a}\\ b+1\ge2\sqrt{b}\)
=> \(a+b+a+1+b+1\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\)
=> \(2a+2b+2\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\)
=> \(a+b+1\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{ab}\) ( ĐPCM)