Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Khó quá. Đúng là Câu Hỏi Hay!!
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
Nhân theo vế 2 BĐT trên có:
\(A\ge9\sqrt[3]{abc\cdot\dfrac{1}{abc}}=9\)
Khi \(a=b=c\)
Bài 2:
a)Sửa đề \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{x+y}\)
Khi \(x=y\)
b)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ta có:
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{4}{a+b-c+b+c-a}=\dfrac{4}{2b}=\dfrac{2}{b}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{2}{c};\dfrac{1}{c+a-b}+\dfrac{1}{a+b-c}\ge\dfrac{2}{a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2VT\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)
Khi \(a=b=c\)
Câu 1: Với \(a;b;c>0\), theo bất đẳng thức Cauchy:
\(a+b+c\ge3.\sqrt[3]{abc}\). Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\). Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)
Nhân theo vế ta được \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow MinA=9\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Ta có \(M=\dfrac{b+c}{a}+1+\dfrac{c+a}{b}+1+\dfrac{a+b}{c}+1-3\)
\(=\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}-3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-3\)
\(=-3\)
a/ \(\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
b/ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) đúng
c/ \(M=x^4-6x^3+13x^2-12x-5\)
Đặt \(x^2-3x=a\)thì ta có:
\(M=a^2+4a-5=\left(a+2\right)^2-9\ge-9\)
Dấu = xảy ra khi:
\(x^2-3x+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)
\(H=\frac{a^2}{2017a^2+a}+\frac{b^2}{2017b^2+b}+\frac{c^2}{2017c^2+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2017\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a+b+c\right)}\)
\(H\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2017.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{\frac{2017}{3}+1}=\frac{3}{2020}\)
\(\Rightarrow H_{max}=\frac{3}{2020}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có: \(A=\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}\)
\(=\left(\dfrac{b+c}{a}+1\right)+\left(\dfrac{c+a}{b}+1\right)+\left(\dfrac{a+b}{c}+1\right)-3\)
\(=\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}-3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-3\)
\(=\left(a+b+c\right).0-3=-3\)
Vậy A = -3
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(B=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+1+b+1+c+1}=\dfrac{9}{0+3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 0
nêu rõ ra áp dụng vào cái nào