Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu trả lời hay nhất: Theo hằng đẳng thức
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab;
c^2+d^2=(c+d)^2-2cd.
Suy ra a^2+b^2 và a+b cùng chẵn, hoặc cùng lẻ;
c^2+d^2 cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Kết hợp với
a^2+b^2=c^2+d^2 ta suy ra a+b và c+d cùng chẵn,
hoặc cùng lẻ. Từ đó a+b+c+d chẵn, và vì
a+b+c+d>=4 nên a+b+c+d là hợp số.
Ta có: A=3(a+c)(b+d) <=> 2A/3 = 2(a+c)(b+d)
Theo Cauchy => 2A/3 \(\le\)(a+c)2+(b+d)2
Mặt khác, theo BĐT Bunhiacopxki có:
\(\left(a+c\right)^2=\left(1.a+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}c\right)^2\le\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(a^2+2c^2\right)=\frac{3}{2}\left(a^2+2c^2\right)\)
Tương tự: \(\left(b+d\right)^2=\left(1.b+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}d\right)^2\le\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(b^2+2d^2\right)=\frac{3}{2}\left(b^2+2d^2\right)\)
=> \(\frac{2A}{3}\le\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+2c^2+2d^2\right)=\frac{3}{2}.1=\frac{3}{2}\)
=> \(A\le\frac{9}{4}=>A_{max}=\frac{9}{4}\)
áp dụng BĐT bunhia... ta có
\(\left(a+2b\right)^2=\left(1.a+\sqrt{2}\sqrt{2}b\right)^2\le\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)\le3.3c^2=9c^2\)
\(\Rightarrow a+2b\le3c\)
áp dụng cosi ta có
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
áp dụng BDT trên ta có \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+b+b}=\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\left(đpcm\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c
Áp dụng BĐT cô si ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3\)
\(\Rightarrow BĐT\)cần \(CM\): \(3>\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow a+b+c>3\)
Mà a,b,c > 0 => abc > 0
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2=b^2=c^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=1\)
d) => 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab+ 2bc + 2ca
=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
( a^2 - 2ab+b^2 ) + ( a^2 - 2ac + c^2) + ( b^2 - 2bc - c^2) = 0
(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 = 0
=> | ( a-b)^2 = 0 => a=b
| ( a-c)^2 = 0 => a=c
| ( b-c)^2 = 0 => b=c
=>>> a=b=c
*)\(b^2+c^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow b^2=a^2-c^2\)
\(\Leftrightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}\)
Ta có: \(\sqrt{a^2-c^2}>c\Leftrightarrow a^2-c^2>c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2>2c^2\)(luôn đúng)
=> c<b
*) \(a^2=b^2+c^2\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c=3\\b=4\\a=5\end{cases}\Leftrightarrow c=b+1}\)
Trước hết, với \(a+b+c=1\) ta có:
\(a^2+b^2+c^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a^3+ab^2\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)+a^2b+b^2c+c^2a\)
\(\ge2a^2b+2b^2c+2c^2a+a^2b+b^2c+c^2a\)
Hay \(a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Từ đó:
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}=\dfrac{a^4}{a^2b}+\dfrac{b^4}{b^2c}+\dfrac{c^4}{c^2a}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
\(\ge\dfrac{3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2b+b^2c+c^2a}=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
em cảm ơn thầy nhiều ạ !