Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nếu a2 +b2-c2 = 0 ABC là tam giác vuông tại c thì (*) có nghiệm x = 0
Nếu a2 +b2-c2 0 ta có
= (2ab)2 – (a2 +b2-c2)2
= (2ab + a2 +b2-c2)(2ab - a2 -b2+c2)
= [(a+b)2 – c2][c2-(a-b)2]
= (a+b-c)(a+b+c)(c+b-a)(c+a-b) > 0
Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên > 0 , vậy phương trình luôn có 2 nghiệm ( tổng hai cạnh của một tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại )
Tóm lại phương trình (*) luôn luôn có nghiệm .
\(\Delta=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2=\left(b^2+c^2-2bc-a^2\right)\left(b^2+c^2+2bc-a^2\right)\)
\(=\left[\left(b-c\right)^2-a^2\right]\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]\)
\(=\left(b-c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\)
Do a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác nên ta luôn có:
\(\left\{{}\begin{matrix}b-c-a< 0\\a+b-c>0\\b+c-a>0\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta< 0\)
Vậy pt vô nghiệm
Ta thấy trong tam giác tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại
Ta có: \(a+b>c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2>c^2\)
\(\Rightarrow c\left(a+b\right)^2>c^3\)
Tương tự:
\(a\left(b+c\right)^2>a^3\)
\(b\left(a+c\right)^2>b^3\)
do đó \(a\left(b+c\right)^2+b\left(a+c\right)^2+c\left(a+b\right)^2>a^3+b^3+c^3\left(ĐPCM\right)\)
Ta có:
\(a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2-a^3-b^3-c^3\)
\(=\left[a\left(b-c\right)^2-a^3\right]+\left[b\left(c-a\right)^2-b^3\right]+\left[c\left(a+b\right)^2-c^3\right]\)
\(=a\left[\left(b-c\right)^2-a^2\right]+b\left[\left(c-a\right)^2-b^2\right]+c\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
\(=a\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)+b\left(c-a-b\right)\left(c-a+b\right)+c\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=a\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)-b\left(c-a-b\right)\left(a+b-c\right)+c\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b-c\right)\left[a\left(b-c-a\right)-b\left(c-a+b\right)+c\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=\left(a+b-c\right)\left(ab-ac-a^2-bc+ab-b^2+ca+cb+c^2\right)\)
\(=\left(a+b-c\right)\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\)
\(=\left(a+b-c\right)\left[c^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)\right]\)
\(=\left(a+b-c\right)\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\)
\(=\left(a+b-c\right)\left(c-a+b\right)\left(c+a-b\right)\)
vì a, b, c là cạnh của 1 tam giác
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\c-a+b>0\\c+a-b>0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2-a^3-b^3-c^3>0\)
\(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2>a^3+b^3+c^3\)\(\left(đpcm\right)\)
Lời giải:
Xét:
\(\Delta=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2=(b^2+c^2-a^2)^2-(2bc)^2\)
\(=(b^2+c^2-a^2-2bc)(b^2+c^2-a^2+2bc)\)
\(=[(b-c)^2-a^2][(b+c)^2-a^2]\)
\(=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)\)
\(=-[(c+a-b)(b+a-c)(b+c-a)(a+b+c)]\)
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên \(c+a-b>0; b+a-c>0; b+c-a>0; a+b+c>0\)
\(\Rightarrow \Delta=-[(c+a-b)(b+a-c)(b+c-a)(a+b+c)]<0\)
Do đó pt đã cho vô nghiệm (đpcm)