Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow b^2+c^2-bc>\left(b+c-\frac{a}{3}\right):\frac{1}{a}\)
\(\Leftrightarrow b^2+c^2-bc>ab+ac-\frac{a^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca-b^2-c^2< \frac{a^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow4a^2-12ab-12ac-12bc+4b^2+4c^2>0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+4b^2+4c^2-4ab+8bc-4ca\right)+a^2-36bc>0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-2b-2c\right)^2+\frac{a^3-36abc}{a}>0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-2b-2c\right)^2+\frac{a^3-36}{a}>0\) ( luôn đúng do a^3 > 36 )
Do đó ta có đpcm
\(\frac{a}{2b+a}+\frac{b}{2c+b}+\frac{c}{2a+c}=\frac{a^2}{2ab+a^2}+\frac{b^2}{2bc+b^2}+\frac{c^2}{2ca+c^2}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+a^2+2bc+b^2+2ca+c^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
a, \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
=> a=b=c