Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử trong 2018 số này không tồn tại 2 số nào bằng nhau.
Giả sử \(a_1>a_2>...>a_{2018}\)
\(\Rightarrow a_{2018}\ge2,a_{2017}\ge3,...,a_1\ge2019\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{2018}^2}\le\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2019^2}\)\(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2018.2019}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}< 1\)(mâu thuẫn với giả thiết)
=> điều giả sử không xảy ra=>đpcm
Giả sử trong 2018 số đó chẳng có số nào bằng nhau và tất cả các số đều lớn hơn 1. Thế thì:
1a21+1a22+1a23+…+1a220181a12+1a22+1a32+…+1a20182≤122+132+142+…+120192≤122+132+142+…+120192
Cơ mà:
122+132+142+…+120192122+132+142+…+120192<11.2+12.3+13.4+…+12018.2019<11.2+12.3+13.4+…+12018.2019
=1–12019<1=1–12019<1 (theo phần a)
Thế nhưng đề bài cho 1a21+1a22+1a23+…+1a22018=11a12+1a22+1a32+…+1a20182=1 (vô lý)
Vậy thể nào trong 2018 số tự nhiên đó cũng có 2 số bằng nhau
GIả sử trong 50 số không có 2 số nào bằng nhau. Cho a1>a2>a3>....>a50, do a1,a2,...,a50 là các số tự nhiên
\(\Rightarrow a_{50}\ge1,a_{49}\ge2,...,a_1\ge50.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{50}}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{50}\)
\(\Leftrightarrow VT\le\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{11}+...+\frac{1}{20}\right)\)\(+\left(\frac{1}{21}+...+\frac{1}{30}\right)+\left(\frac{1}{31}+...+\frac{1}{40}\right)\)
\(+\left(\frac{1}{41}+...+\frac{1}{50}\right)\) (mỗi nhóm có 10 số hạng)
\(VT< 10+\frac{10}{11}+\frac{10}{21}+\frac{10}{31}+\frac{10}{41}< 10+1+\frac{1}{2}\)\(+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{145}{12}< \frac{51}{2}\)
=> Vô lí
=> đpcm
Giả sử \(a_1;a_2;a_3;a_4;........;a_{50}\) là 50 số tự nhân khác nhau và \(0< a_1< a_2< a_3< ........< a_{50}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+.....+\frac{1}{a_{50}}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{50}\)
\(< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+....+\frac{1}{2}=1+\frac{49}{2}=\frac{51}{2}\) (mâu thuẫn giả thiết)
\(\Rightarrow\)Trong 50 số trên có ít nhất 2 số bằng nhau