NT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
2 tháng 9 2018
Ta có: \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^2}=4\)(AM-GM) (abcd=1)
Lại có: \(a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\)
\(=ab+ac+bc+bd+cd+ac+ad+bd\)
\(\ge8\sqrt[8]{\left(abcd\right)^4}=8\)(AM-GM)
Từ đó:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\ge4+8=12\)
=> ĐPCM. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d=1.
LV
20 tháng 5 2017
có lẽ xài viete.
a+b+c=abc <=> b+c=abc-a=a.(2a2-1)=2a3-a
mà bc=2a2=> b,c là nghiệm của phương trình \(x^2-\left(2a^3-a\right)x+2a^2=0\)
để phương trình có nghiệm thì \(\Delta=\left(2a^3-a\right)^2-8a^2\ge0\Leftrightarrow a^2\left[\left(2a^2-1\right)^2-8\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2-1\ge2\sqrt{2}\Leftrightarrow a^2\ge\frac{1+2\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow a\ge\sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{2}}\)(đpcm)
KN
5 tháng 9 2020
Theo giả thiết \(a^2+b^2+c^2+d^2=1\Rightarrow0< a,b,c,d< 1\)
Ta có: \(2\left(1-a\right)\left(1-b\right)=2-2\left(a+b\right)+2ab=a^2+b^2+c^2+d^2+1\)\(-2a-2b+2ab-2cd+2cd=\left(a+b-1\right)^2+\left(c-d\right)^2+2cd\ge2cd\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge cd\)(*)
Tương tự ta có: \(\left(1-c\right)\left(1-d\right)\ge ab\)(**)
Nhân theo từng vế cùng chiều của hai BĐT (*) và (**), ta được: \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1-d\right)\ge abcd\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
UK
9 tháng 10 2017
https://diendantoanhoc.net/topic/76281-bdt-thi-h%E1%BB%8Dc-sinh-gi%E1%BB%8Fi-t%E1%BB%89nh-l%E1%BB%9Bp-9-nam-2011-2012/
6 tháng 1 2020
Nhận xét:Ghi nhớ tam giác Pascal cho bậc 4:\(1\rightarrow4\rightarrow6\rightarrow4\rightarrow1\)
cần cù bù thông minh :)
\(a^2+b^2+\left(a-b\right)^2=c^2+d^2+\left(c-d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2-2ab+b^2=c^2+d^2+c^2-2cd+d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2-ab+b^2\right)^2=\left(c^2-cd+d^2\right)^2\) ( mạnh dạn bình phương )
\(\Leftrightarrow a^4+a^2b^2+b^4-2a^3b-2ab^3+2a^2b^2=c^4+c^2d^2+d^4-2c^3d-2cd^3+2c^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+3a^2b^2+b^4-2a^3b-2ab^3=c^4+3c^2d^2+d^4-2c^3d-2cd^3\left(1\right)\)
Mặt khác:
\(a^4+b^4+\left(a-b\right)^4\)
\(=a^4+b^4+a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4\)
\(=2\left(a^4-2a^3b-2ab^3+3a^2b^2\right)\left(2\right)\)
Tương tự:
\(c^4+d^4+\left(c-d\right)^4=2\left(c^4-2c^3d-2cd^3+3c^2d^2\right)\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) suy ra đpcm
S
2 tháng 4 2019
Bài 3 \(\hept{\begin{cases}x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+xy=2+3\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}S+P=2+3\sqrt{2}\left(1\right)\\S^2-2P=6\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1)\(\Rightarrow P=2+3\sqrt{2}-S\)Thế P vào (2) rồi giải tiếp nhé. Mình lười lắm ^.^
Áp dụng liên tiếp BĐT quen thuộc \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\) ta được :
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\) \(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{\left(c+d\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2+\left(c+d\right)^2}{2}\ge\frac{\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2}}{2}=\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}=\frac{2^2}{4}=1\)
Do đó : \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
Theo Svacxo ta có : \(LHS\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}=\frac{2^2}{4}=1\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)