HQ
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
27 tháng 5 2021
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\left(a,b,c>0\right)\).
Với \(a,b>0\), ta có:
\(\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\).
\(\Leftrightarrow\left(a^3-1\right)\left(a-1\right)\ge0\).
\(\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1\ge0\).
\(\Leftrightarrow a^4-a^3+1\ge a\).
\(\Leftrightarrow a^4-a^3+ab+2\ge ab+a+1\).
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^4-a^3+ab+2}\ge\sqrt{ab+a+1}\).
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}\left(1\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a-1=0\Leftrightarrow a=1\).
Chứng minh tương tự (với \(b,c>0\)), ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}\le\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}\left(2\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\).
Chứng minh tương tự (với \(a,c>0\)), ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ca+a+1}}\left(3\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\left(4\right)\).
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho 3 số, ta được:
\(\left(1.\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+1.\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+1.\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\)\(\le\)\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\)\(\left[\frac{1}{\left(\sqrt{ab+a+1}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{bc+b+1}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{ca+c+1}\right)^2}\right]\).
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\)\(\le3\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)\).
Ta có:
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)
\(=\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{abc}{bc+b+abc}+\frac{1}{ca+c+1}\)(vì \(abc=1\)).
\(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{abc}{b\left(c+1+ac\right)}+\frac{1}{ca+c+1}\)(vì \(abc=1\)).
\(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{1+ac+c}=1\).
Do đó:
\(\left(\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\le3.1=3\).
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\le\sqrt{3}\left(5\right)\).
Từ \(\left(4\right)\)và \(\left(5\right)\), ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\)\(\sqrt{3}\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\).
Vậy \(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\le\sqrt{3}\)với \(a,b,c>0\)và \(abc=1\).
\(+2\)nhé, không phải \(-2\)đâu.
17 tháng 9 2017
ta có:
\(c+ab=c.1+ab=c\left(a+b+c\right)+ab=ca+cb+c^2+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)
tương tự như vậy thì \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
áp dụng bđt cô si ta có:
\(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}};\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}};\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)=\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)
AJ
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 11 2019
Ta có \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
Mà \(abc\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\) (AM-GM)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\frac{9}{8}\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}.\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)^3\le\frac{81}{64}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
25 tháng 11 2019
Ta có: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc=1\)
Áp dụng BĐT Cô si ta có
\(1=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)\(=8abc\)
\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
mặt khác: \(1=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\left(\frac{2a+2b+2c}{3}\right)^3\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{1+abc}{a+b+c}\le\frac{1+\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}}=\frac{3}{4}\)
16 tháng 5 2017
Ta có
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}\)\(=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)\(=\sqrt{\frac{a}{c+a}}.\sqrt{\frac{b}{c+b}}\)\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)
Tương tự, ta có
\(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{b+ca}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{b+a}\right)}\)
Cộng vế theo vế của 3 bđt ta được đpcm
KN
3 tháng 2 2021
Ta có: \(\left(a^4-a^3+2\right)-\left(a+1\right)=\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\)\(\Rightarrow a^4-a^3+2\ge a+1\Leftrightarrow a^4-a^3+ab+2\ge ab+a+1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}\)
Tương tự:\(\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}\le\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}\); \(\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{ac}{abc^2+abc+ac}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{c}{ac+c+1}+\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}=\sqrt{3}\)(abc = 1)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
PN
20 tháng 3 2021
Áp dụng bđt cô si ta có : \(a^2+bc\ge2\sqrt{a^2bc}=2a\sqrt{bc}\)\(< =>\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)
Tương tự và cộng theo vế ta được \(LHS\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
Ta sẽ chứng minh bđt phụ sau\(\frac{1}{\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Ta thấy \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}< =>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\)
Áp dụng bđt phụ trên ta có \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\le\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)}{abc}\le\frac{\frac{1}{2}abc}{abc}=\frac{1}{2}\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(< =>a=b=c=3\)
bài này quan trọng là tìm đc cái bđt phụ đó thôi bạn
20 tháng 3 2021
Áp dụng BĐT\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Ta Có \(\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{a}{4}.\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{bc}\right)\) và \(a^2+b^2+c^2\le abc\)
\(=>\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\right)\)
Tương tự các cái khác ta có
\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1\right)\)
Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\le1\)
\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\left(dpcm\right)\)Dấu = xảy ra <=> a=b=c=3 "_"
Học tốt
S
23 tháng 5 2017
\(VT=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}{2}\)
Tượng tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}\\\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\le\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\left(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{c+a}\right)+\left(\frac{c}{b+c}+\frac{b}{c+b}\right)}{2}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{a+b}{a+b}+\frac{c+a}{c+a}+\frac{b+c}{b+c}}{2}=\frac{3}{2}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
11 tháng 2 2017
Ta chứng minh:\(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Đặt vế 1 là A, vế 2 là B ta có A-B(khai triển tung tóe ra)=\(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2-6abc\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a^2b-2abc+bc^2\right)+\left(b^2c-2abc+ca^2\right)+\left(c^2a-2abc+ab^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-\sqrt{b}\right)^2+\left(b-\sqrt{c}\right)^2+\left(c-\sqrt{a}\right)^2\ge0\).Đúng nên ta có bất đẳng thức trên
Chuyển vế ta có:\(ab+bc+ca\le\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{4\times2\times\left(a+b+c\right)}\le\frac{9}{4\times3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\frac{9}{4\times3}=\frac{3}{4}\)
Vậy ab+bc+ca nhỏ hơn hoặc băng 3/4. bấm đúng cho mình nha
3 tháng 2 2017
đề thi chuyên toán ak. hình như là dùng bu nhi a cốp xki. e lớp 8 ko bít