Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
C.hóa \(x+y=1\) và dùng C-S:
\(VT^2\le\frac{2x}{\left(y+1\right)^2}+\frac{2y}{\left(x+1\right)^2}\le\frac{8}{9}=VP^2\)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{x}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y}{\left(2-y\right)^2}\le\frac{4}{9}\left(1\right)\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{x}{\left(2-x\right)^2}\le\frac{20}{27}x-\frac{4}{27}\)
\(\Leftrightarrow-\frac{\left(2x-1\right)^2\left(5x-16\right)}{27\left(x-2\right)^2}\le0\) *Đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT_{\left(1\right)}\le\frac{20}{27}\left(x+y\right)-\frac{4}{27}\cdot2=\frac{4}{9}=VP_{\left(1\right)}\)
"=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Đag lm nhà bj mất điện, đến h đc 2 tiếng r mà ch godd nào đụng à?!
Ta có: \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x^3}+\sqrt{y}\cdot\sqrt{y^3}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Leftrightarrow1\le\left(x^3+y^3\right)\sqrt{2}\Rightarrow x^3+y^3\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Mặt khác ta lại có: \(\left(x,y\right)\in\left[0,1\right]\Rightarrow0\le x,y\le1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\ge x^3\\y^2\ge y^3\end{cases}}\Rightarrow x^2+y^2\ge x^3+y^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)
P/s: \(x^3+y^3\le1\) có thể xảy ra dấu "="
Mình cũng chịu bạn ạ vì mình mới học lớp 5 thôi
k mình nha
Chúc bạn học giỏi
Mình cảm ơn bạn nhiều
At the speed of light hữu ích thật.
Giải:
Đặt \(S=x+y+z\). Ta có: \(S^{2^{B.C.S}}=3.x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow4\ge3.x^2+y^2+z^2-3.x+y+z\ge S^2-3S\Rightarrow S+1.S-4\le4\Rightarrow-1\le S\le4\)
Ta có: \(\left(y^2-y\right)+2\ge0\Rightarrow2y^3\le y^4+y^2\)
\(\Rightarrow\left(x^3+y^2\right)+\left(x^2+y^3\right)\le\left(x^2+y^2\right)+\left(y^4+x^3\right)\)
Mà \(x^3+y^4\le x^2+y^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2\left(1\right)\)
Lại có: \(x\left(x-1\right)^2\ge0;y\left(y+1\right)\left(y-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x\left(x-1\right)^2+y\left(y+1\right)\left(y-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^3-2x^2+x+y^4-y^3-y^2+y\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+y^3\right)\le\left(x+y\right)+\left(x^3+y^4\right)\)
Mà \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\left(2\right)\)
Và \(\left(x+1\right)\left(x-1\right)\ge0;\left(y-1\right)\left(y^3-1\right)\ge0\)
\(x^3-x^2-x+1+y^4-y-y^3+1\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)+\left(x^2+y^3\right)\le2+\left(x^3+y^4\right)\)
Mà \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\)
\(\Rightarrow x+y\le2\left(3\right)\)
Từ (1), (2), (3) => đpcm
Ta có \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\Leftrightarrow x^2+y^2+y^3\ge x^3+y^2+y^4\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có \(y^4+y^2\ge2y^3\)
\(\Rightarrow x^2+y^3+y^2\ge x^3+2y^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2\left(1\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz ta có
\(\left(x^2+y^2\right)^2\le\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{x^3}\right)^2+\left(\sqrt{y^3}\right)^2\right]=\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\le\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\left(2\right)\)
Lại có
\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\le2\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow x+y\le2\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) => đpcm
Đối với bài này ta cũng có thể chia các khoảng giá trị để chứng minh
(Nhưng hơi dài và khó hiểu nên mình k làm )
Học tốt!!!!!!!!!
Sai đề rồi nha bạn! Điều kiện: \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\)
Sử dụng bất đẳng thức \(C-S,\) ta có:
\(\left(x^3+y^3\right)^2=\left(x\sqrt{x}.x\sqrt{x}+y^2.y\right)^2\le\left(x^3+y^4\right)\left(x^3+y^2\right)\le\left(x^2+y^3\right)\left(x^3+y^2\right)\)
\(\le\left(\frac{x^2+y^3+x^3+y^2}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\) \(x^3+y^3\le\frac{x^2+y^3+x^3+y^2}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(x^3+y^3\le x^2+y^2\) \(\left(1\right)\)
Lại có: \(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(x\sqrt{x}.\sqrt{x}+y\sqrt{y}.\sqrt{y}\right)^2\le\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\le\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\) \(x^2+y^2\le x+y\) \(\left(2\right)\)
Mặt khác, từ \(\left(2\right)\) với lưu ý rằng \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) \(\left(i\right)\)và \(x,y\in R^+\) , ta thu được:
\(x^2+y^2\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) \(\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2\le2\) \(\left(3\right)\)
nên do đó, \(\left(i\right)\) suy ra \(x+y\le\sqrt{2.2}=2\) \(\left(4\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\) ta có đpcm