Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
12. Ta có \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
=> \(a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\)
Lại có \(\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2\)
=> \(\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}.\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Vậy \(MaxP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=1
13. Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)( BĐT cosi)
=> \(1\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)
=> \(a+b+c\ge6\)
Ta có \(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
=> \(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự \(\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\),,\(\frac{c^3-a^2}{c^2+ac+a^2}=c-a\)
Cộng 3 BT trên ta có
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+c^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{c^2+bc+b^2}+\frac{a^3}{a^2+ac+c^2}\)
Khi đó \(2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+...\)
=> \(2P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+....\)
Xét \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)
<=> \(3\left(a^2-ab+b^2\right)\ge a^2+ab+b^2\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)(luôn đúng )
=> \(2P\ge\frac{1}{3}\left(a+b+b+c+a+c\right)=\frac{2}{3}.\left(a+b+c\right)\ge4\)
=> \(P\ge2\)
Vậy \(MinP=2\)khi a=b=c=2
Lưu ý : Chỗ .... là tương tự
Dự đoán xảy ra cực trị khi a = b = c =2. Khi đó P =\(\frac{3\sqrt{2}}{4}\). Ta sẽ chứng minh đó là MAX của P
Ta có: \(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3-\left(a+b+c\right)\ge abc-\left(a+b+c\right)=2\)
Đặt a + b +c = t>0 suy ra \(\frac{t^3-27t}{27}\ge2\Leftrightarrow t^3-27t\ge54\Leftrightarrow t^3-27t-54\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t\ge6\\t=-3\left(L\right)\end{cases}}\). Do vậy \(t\ge6\) (em làm tắt xiu nhé,dài quá)
\(P=\Sigma_{cyc}\frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\le\sqrt{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Giờ đi chứng minh \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{3}{4}\)
Em cần suy ra nghĩ tiếp:(
Em mới tìm được Min thôi ạ, Max =\(2\sqrt{2}+4\)nhưng chưa biết cách giải , mọi người giúp với ạ
áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ta có:
\(a^3+b^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3b^3.1}=3ab\)
\(\Rightarrow M=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}=\frac{\left(a^3+b^3+1\right)+3}{ab+1}\ge\frac{3ab+3}{ab+1}=3\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của M=3 khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=2\\a^3=b^3=1\end{cases}\Rightarrow}a=b=1\)
\(0\le a\le\sqrt{2}\Rightarrow a\left(a-\sqrt{2}\right)\le0\Rightarrow a^2\le a\sqrt{2}\Rightarrow a^3\le a^2\sqrt{2}\)
Tương tự và cộng lại: \(a^3+b^3\le\sqrt{2}\left(a^2+b^2\right)=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow M\le\frac{2\sqrt{2}+4}{ab+1}\le\frac{2\sqrt{2}+4}{1}=2\sqrt{2}+4\) (do \(ab\ge0\Rightarrow ab+1\ge1\))
Dấu "=" khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\sqrt{2}\right);\left(\sqrt{2};0\right)\)
\(2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{2}{\sqrt{ab}}\le2\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{ab}\le1\)
\(Q=\frac{1}{4}\left(\frac{4}{\left(a^2+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b^2\right)^2}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\right)=\frac{1}{4ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\le\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\)
...
Hằng đẳng thức sai rồi nha Quân eii , nhìn lại cái bậc của ẩn a,b ở 2 mẫu số đi -__
\(a^2+b^2-ab\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2}}=\dfrac{2}{a+b}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\)
=> \(2ab=a+b\)
Mà \(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
=> \(a+b\ge2\)
Ta có
\(a^4+b^2\ge2a^2b\)
\(b^4+a^2\ge2ab^2\)
Khi đó \(Q\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}=\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\le\frac{2}{2^2}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(MaxQ=\frac{1}{2}\)khi a=b=1
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz vào bài toán , ta có :
\(Q=\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{9}{1^2}=9\) Dấu " = " xảy ra khi : \(\dfrac{1}{a^2+2ab}=\dfrac{1}{b^2+2ac}=\dfrac{1}{c^2+2ab}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow Q_{Min}=9\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
\(6a+3b+2c=abc\Leftrightarrow\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{ac}+\dfrac{6}{bc}=1\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{2}{b};\dfrac{3}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
\(Q=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}}+\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{4}{y^2}+4}}+\dfrac{3}{\sqrt{\dfrac{9}{z^2}+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{z}{\sqrt{z^2+1}}\)
\(Q=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+zx}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^2+xy+yz+zx}}+\dfrac{z}{\sqrt{z^2+xy+yz+zx}}\)
\(Q=\dfrac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
\(Q\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{y+z}\right)=\dfrac{3}{2}\)
\(Q_{max}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(\sqrt{3};2\sqrt{3};3\sqrt{3}\right)\)
Từ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=2\Rightarrow\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}=2\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}=2\)
\(\Rightarrow2ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab\ge1\\a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^2+2ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}+2ab^2=2a^2b+2ab^2\)
\(b^4+a^2+2a^2b\ge2\sqrt{a^2b^4}+2a^2b=2ab^2+2a^2b\)
\(\Rightarrow Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
Cảm ơn bạn