Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh bổ đề : \(\frac{4x}{3-4x^2}\ge4x^2\)
\(\Leftrightarrow1+4x^3\ge3x\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3x\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3\sqrt[3]{\frac{4x^3}{4}}=3x\left(đpcm\right)\)
Áp dụng bổ đề cho các phân thức còn lại và thu lại ta có :
\(P\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+xz\right)=3\)
Vậy \(P_{min}=3\)
Chúc bạn học tốt !!!
Chứng minh bổ đề: \(\frac{4x}{3-4x^2}\ge4x^2\)
\(\Leftrightarrow1+4x^3\ge3x\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3x\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3\sqrt[3]{\frac{4x^3}{4}=3x\left(đpcm\right)}\)
Áp dụng bổ đề cho các phân thức còn lại và thu lại ta có
\(P\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+xz\right)=3\)
Vậy \(Pmin=3\)
Ta chứng minh BĐT sau:
Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
Bài 1 :
Ta có : \(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{2}{b^2+3ab}=\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\)
Theo BĐT Cô - Si dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{3a^2+6ab+3b^2}=\dfrac{9}{3\left(a+b\right)^2}=\dfrac{9}{3.1}=3\)
Dấu \("="\) xảy ra khi : \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
à bài này làm r` ở bên đây nè :D có cả 2 cách
Câu hỏi của Phúc Long Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Cách giải khác:
Ta chứng minh bổ đề:
\(\dfrac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\le\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)(Đúng)
Tương tự ta cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{11y+4z}{4y^2-yz+2z^2}\le\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z};\dfrac{11z+4x}{4z^2-xz+2x^2}\le\dfrac{2}{z}+\dfrac{1}{x}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\le\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}=\dfrac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xyz}=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Câu hỏi của Neet - Toán lớp 10 | Học trực tuyến đổi biến (a,b,c)->(x,y,z) là y nhau
\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:
\(\dfrac{1}{4x+3y+z}\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
CMTT\(\Rightarrow\) \(M\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}\right)=\dfrac{1}{8}\)
Dấu''=" xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=3\)
Chứng minh bổ đề: \(\dfrac{4x}{3-4x^2}\ge4x^2\)
\(\Leftrightarrow1+4x^3\ge3x\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+4x^3\ge3x\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+4x^3\ge3\sqrt[3]{\dfrac{4x^3}{4}}=3x\left(đpcm\right)\)
Áp dụng bổ đề cho các phân thức còn lại và thu lại ta có
\(P\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+xz\right)=3\)
Vậy \(P_{min}=3\)