Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Vì AB là tiếp tuyến (O)
=> AB⊥OB
=> ABOˆABO^=900=900
Vì AC là tiếp tuyến (O)
=> AC⊥OC
=>ACOˆACO^ =900=900
Ta có: ABOˆ+ACOˆABO^+ACO^ =900+900=1800=900+900=1800
=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Vì tiếp tuyến AB cắt tiếp tuyến AC tại A
⇒{AB=ACBO=CO⇒{AB=ACBO=CO
⇒⇒ AO là đường trung trực ứng BC
⇒⇒ AO⊥BC ( mà E∈BC)
⇒⇒ BE⊥AO (đpcm)
Xét ΔABO có: ABOˆABO^ =900=900 (cmtrn)
BE⊥AO (cmtrn)
⇒⇒ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
⇒⇒ AO⋅OE=OB2AO⋅OE=OB2 (mà OB=R)
⇒OA⋅OE=R2⇒OA⋅OE=R2 (đpcm)
c) Vì tiếp tuyến BP cắt tiếp tuyến PK tại P
⇒PB=PK⇒PB=PK
Vì tiếp tuyến KQ cắt tiếp tuyến QC tại Q
⇒KQ=QC⇒KQ=QC
Ta có: PAPQ=AP+PQ+AQPAPQ=AP+PQ+AQ =AP+PK+KQ+AQ=AP+PK+KQ+AQ
⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)
⇔PAPQ=AB+AC⇔PAPQ=AB+AC
Vì AB+ACAB+AC không thay đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC
⇒⇒ Chu vi tam giác AQP không thay đổi khi K thay đổi trên cung nhỏ BC (đpcm).
d) Tự CM: ΔMOP∼ΔNQOΔMOP∼ΔNQO
⇒MPNO=MONQ⇒MPNO=MONQ ⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2
⇔MP⋅NQ=MN24⇔MP⋅NQ=MN24
⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)
⇔MN=2⋅MN⋅NQ−−−−−−−−√⇔MN=2⋅MN⋅NQ
Áp dụng bđt Côshi ta có:
2⋅MP⋅NQ−−−−−−−−√≤MP+NQ2⋅MP⋅NQ≤MP+NQ
⇔MN≤MP+NQ⇔MN≤MP+NQ (đpcm).
Bài 2:
O A B C E D M
Ta thấy EB // AC nên \(\frac{EB}{MA}=\frac{ED}{DA}\Rightarrow AM.ED=EB.DA\) (1)
Do EB//AC nên \(\widehat{BCA}=\widehat{CBE}\Rightarrow\widebat{EC}=\widebat{CB}\)
Vậy thì \(2.\widehat{DMC}=\widebat{BC}-\widebat{DC}=\widebat{EC}+\widebat{EB}-\widebat{DC}=\left(\widehat{CB}-\widebat{DC}\right)+\widebat{EB}=\widebat{ED}=2.\widehat{DCE}\)
\(\Rightarrow\widehat{DMC}=\widehat{DCE}\)
Mà \(\widehat{DEC}=\widehat{DCM}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)
\(\Rightarrow\Delta EDC\sim\Delta CDM\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{ED}{CD}=\frac{EC}{CM}\Rightarrow CM.ED=CD.EC\) (2)
Từ (1) và (2) ta thấy, muốn chứng minh CM = MA, ta chỉ cần chứng minh EB.DA = CD.EC
Lại có \(\widebat{CE}=\widebat{CB}\Rightarrow CE=CB\)
Vậy ta cần chứng minh: EB.DA = CD.BC
Ta có \(\widehat{DAC}=\frac{\widebat{EC}-\widebat{DC}}{2}=\frac{\widebat{BC}-\widebat{DC}}{2}=\frac{\widebat{DB}}{2}=\widehat{DCB}\)
Vậy nên ta có ngay \(\Delta DBC\sim\Delta DCA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{BC}{CA}\Rightarrow BC.CD=BD.CA\left(3\right)\)
Ta dễ dàng thấy ngay \(\Delta BDA\sim\Delta EBA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{BD}{EB}=\frac{DA}{BA}=\frac{DA}{CA}\Rightarrow EB.DA=BD.CA\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) ta có \(EB.DA=BC.CD\)
Từ đó suy ra MC = MA hay M là trung điểm của AC (đpcm).