Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y-z=a\\y+z-x=b\\z+x-y=c\end{cases}\Rightarrow}x=\frac{a+c}{2};y=\frac{b+a}{2};z=\frac{c+b}{2}\)
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\frac{a+b}{2}.\frac{b+c}{2}.\frac{c+a}{2}\ge abc\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8}\ge abc\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\ge0\\b+c\ge2\sqrt{bc}\ge0\\c+a\ge2\sqrt{ca}\ge0\end{cases}\Rightarrow}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\)
Vật bất đẳng thức được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\)
Từ giả thiết x2 + y2 = 1, suy ra x2 \(\le\)1 => -1 \(\le x\le\)1 (1)
Ta có P(x,y) = x2 + y2 - 4x = 1 - 4x (2)
Từ (1), (2) suy ra \(-3=1-4\cdot1\le P\le1-4\cdot\left(-1\right)=5\)
Vậy Max P = 5, Min P = -3.
- \(B=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy=16x^2y^2+12\left(x^3+y^3\right)+34xy\)
\(=16x^2y^2+12\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+34xy\)
\(=16x^2y^2+12\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+22xy\)
\(=16x^2y^2-2xy+12\)
Đặt \(t=xy\) thì \(B=16t^2-2t+12=16\left(t-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\ge\frac{191}{16}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{1}{16}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\)
Vậy min B \(=\frac{191}{16}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right);\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4};\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\)
- Như trên ta có : \(B=16\left(xy-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\)
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy , ta có : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
Suy ra : \(B\le16\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}=\frac{25}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1/2
Vậy max B = 25/2 khi (x;y) = (1/2;1/2)
Em ko chắc nhá!
Giả sử x = max{x;y}.Ta tìm max của A = x(y+1).
Ta có: \(x^2=1-y^2\Rightarrow x=\sqrt{1-y^2}\).
Do đó ta tìm max của \(A=\left(y+1\right)\sqrt{1-y^2}\).
Xét hiệu \(A^2-\frac{27}{16}=-\frac{1}{16}\left(2y-1\right)^2\left(4y^2+12y+11\right)\le0\)
Nên \(A\le\frac{3\sqrt{3}}{4}\). Đẳng thức xảy ra khi y = 1/2 khi đó \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Vậy..
Lời giải:
Đặt \(x^2+y^2-1=t\)
Khi đó:
\((x^2+y^2-1)^2+x^2-5y^2+11=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2+y^2-1)^2-5(x^2+y^2-1)+6=-6x^2\)
\(\Leftrightarrow t^2-5t+6=-6x^2\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow (t-2)(t-3)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow 2\leq t\leq 3\)
\(\Leftrightarrow 2\leq x^2+y^2-1\leq 3\)
Do đó: \(B=x^2+y^2\leq 4\Rightarrow B_{\max}=4\)