Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải chi tiết bài toán:
Đề bài:Cho tam giác ABCABC vuông tại AA, có AB=aAB = a. Gọi M,N,DM, N, D lần lượt là trung điểm của AB,BC,ACAB, BC, AC.
- Chứng minh NDND là đường trung bình của tam giác ABCABC và tính độ dài của NDND theo aa.
- Chứng minh tứ giác ADNMADNM là hình chữ nhật.
- Gọi QQ là điểm đối xứng của NN qua MM. Chứng minh AQBNAQBN là hình thoi.
- Trên tia đối của tia DBDB lấy điểm KK sao cho DK=DBDK = DB. Chứng minh 3 điểm Q,A,KQ, A, K thẳng hàng.
-
Vì NN là trung điểm của BCBC và DD là trung điểm của ACAC, theo định nghĩa đường trung bình:
NDND song song với ABAB và ND=12ABND = \frac{1}{2}AB. -
Do AB=aAB = a, suy ra ND=12aND = \frac{1}{2}a.
Kết luận: NDND là đường trung bình của tam giác ABCABC, và ND=12aND = \frac{1}{2}a.
2. Chứng minh tứ giác ADNMADNM là hình chữ nhật:-
MM là trung điểm của ABAB, nên AM=MB=12AB=12aAM = MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a.
-
ND∥ABND \parallel AB và ND=12ABND = \frac{1}{2}AB (tính chất đường trung bình).
-
AM⊥ABAM \perp AB (tam giác vuông tại AA), nên AM⊥NDAM \perp ND.
-
Tứ giác ADNMADNM có:
- AD∥MNAD \parallel MN (vì cùng vuông góc với ABAB).
- AM⊥NDAM \perp ND.
Do đó, ADNMADNM là hình chữ nhật.
3. Chứng minh AQBNAQBN là hình thoi:-
QQ là điểm đối xứng của NN qua MM, nên MQ=MNMQ = MN.
-
Vì MM là trung điểm của ABAB, suy ra AQ=BN=AB=aAQ = BN = AB = a.
-
Trong hình chữ nhật ADNMADNM:
- AM=ND=12aAM = ND = \frac{1}{2}a, và MM là trung điểm của ABAB.
-
Tứ giác AQBNAQBN có:
- AQ=BNAQ = BN.
- AB=QN=aAB = QN = a.
Vậy AQBNAQBN là hình thoi.
4. Chứng minh 3 điểm Q,A,KQ, A, K thẳng hàng:-
Trên tia đối của tia DBDB, lấy điểm KK sao cho DK=DBDK = DB.
-
QQ đối xứng với NN qua MM, nên MQ=MNMQ = MN.
-
Trong tam giác vuông ABCABC, DD và MM lần lượt là trung điểm của ACAC và ABAB:
- DB=AC2+AB22=a2+AC22DB = \frac{\sqrt{AC^2 + AB^2}}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + AC^2}}{2}.
- DK=DBDK = DB, nên KK nằm trên đường thẳng qua DD kéo dài.
-
Vì AQBNAQBN là hình thoi, nên AQAQ song song với DBDB. Kết hợp với vị trí của KK, suy ra Q,A,KQ, A, K thẳng hàng.
- NDND là đường trung bình của tam giác ABCABC, ND=12aND = \frac{1}{2}a.
- ADNMADNM là hình chữ nhật.
- AQBNAQBN là hình thoi.
- Ba điểm Q,A,KQ, A, K thẳng hàng.
Bài 1:
A B C D M N P Q E F
a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)
\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)
Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)
\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC
\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)
mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)
CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)
\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)
Xét tứ giác MEPF có:
\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)
b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)
\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc) (4)
Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)
\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB
\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)
Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)
\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC
\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)
Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)
\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)
\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)
Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm
c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)
\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB
\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)
CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)
Mà Q,F,E,N thẳng hàng
\(\Rightarrow AB//CD\)
Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện \(AB//CD\)
Bài này có gì đâu em ! Anh làm nhé !
Chuyển vế cái cần chứng minh ta được
1/AB^2 - 1/AE^2 =1/4AF^2
hay ( AE^2 - AB^2)/AB^2.AE^2 = 1/4AF^2
hay BE^2/ 4BC^2.AE^2 = 1/AF^2
Nhân chéo hai vế ta có : BC.AE = BE.AF hay là BC/AF = BE/AE
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=5cm, BC=13cm. Gọi H, K lần Lượt là trung điểm của AB và BC. Tính độ dài HK
giúp mình nhoa!!
Bài 12:
:v Mình sửa P là trung điểm của EG
A B C D E O Q N F G M I 1 2 P
a) Ta có: \(\widehat{EAC}=\widehat{EAB}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)
\(\widehat{GAB}=\widehat{GAC}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{GAB}\)
Xét tam giác EAC và tam giác BAG có:
\(\hept{\begin{cases}EA=AB\\\widehat{EAC}=\widehat{GAB}\left(cmt\right)\\AG=AC\end{cases}}\Rightarrow\Delta EAC=\Delta BAG\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow CE=BG\)( 2 cạnh t. ứng )
+) Gọi O là giao điểm của EC và BG, Gọi I là giao điểm của AC và BG
Vì \(\Delta EAC=\Delta BAG\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{AGB}\)
Vì tam giác AIG vuông tại A nên \(\widehat{I1}+\widehat{AGB}=90^0\)(2 góc phụ nhau )
Mà \(\widehat{ACE}=\widehat{AGB}\left(cmt\right),\widehat{I1}=\widehat{I2}\)( 2 góc đối đỉnh )
\(\Rightarrow\widehat{I2}+\widehat{ACE}=90^0\)
Xét tam giác OIC có \(\widehat{I2}+\widehat{ACE}+\widehat{IOC}=180^0\left(dl\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{IOC}=90^0\)
\(\Rightarrow BG\perp EC\)
b) Vì ABDE là hình vuông (gt)
\(\Rightarrow EB\)cắt AD tại Q là trung điểm của mỗi đường (tc)
Xét tam giác EBC có Q là trung điểm của EB (cmt) , M là trung điểm của BC (gt)
\(\Rightarrow QM\)là đường trung bình của tam giác EBC
\(\Rightarrow QM=\frac{1}{2}EC\left(tc\right)\)
CMTT: \(PN=\frac{1}{2}EC;QP=\frac{1}{2}BG,MN=\frac{1}{2}BG\)
Mà EC=BG (cm câu a )
\(\Rightarrow QM=MN=NP=PQ\)
Xét tứ giác MNPQ có \(QM=MN=NP=PQ\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MNPQ\)là hình thoi ( dhnb ) (1)
CM: MN//BG , QM//EC ( dựa vào đường trung bình tam giác )
Mà \(BG\perp EC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MN\perp MQ\)
\(\Rightarrow\widehat{QMN}=90^0\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MNPQ\) là hình vuông ( dhnb )
\(\)
Bài 11:
A B C H D P E Q
a) Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=90^0+90^0=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DAE}=180^0\)
\(\Rightarrow D,A,E\)thẳng hàng
b) Vì AHBD là hình chữ nhật (gt)
\(\Rightarrow AB\)cắt DH tại trung điểm mỗi đường (tc) và AB=DH(tc)
Mà P là trung điểm của AB (gt)
\(\Rightarrow P\)là trung điểm của DH (1)
\(\Rightarrow PH=\frac{1}{2}DH,PA=\frac{1}{2}AB\)kết hợp với AB=DH (cmt)
\(\Rightarrow PH=PA\)
\(\Rightarrow P\in\)đường trung trục của AH
CMTT Q thuộc đường trung trực của AH
\(\Rightarrow PQ\)là đường trung trực của AH
c) Từ (1) => P thuộc DH
=> D,P,H thẳng hàng
d) Vì ABCD là hình chữ nhật (gt)
=> DH là đường phân giác của góc BHA (tc) mà góc BHA= 90 độ
=> góc DHA= 45 độ
CMTT AHE =45 độ
=> góc DHA+ góc AHE=90 độ
Hay góc DHE=90 độ
=> DH vuông góc với HE