Question

[Đặng Dung]

Bài 1: Tìm các số nguyên dương a, b \(\left(a\ge b\right)\) để phương trình: \(x^2-abx+a+b=0\) có nghiệm nguyên.

Bài 2: Cho phương trình sau với p là tham số: \(3x^2-\left(2p-1\right)x+p^2-6p+1=0\). Tìm \(p\in Q\) để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên.

Bài 3: Tìm giá trị k nguyên để các nghiệm của phương trình sau là nghiệm hữu tỉ: \(kx^2+\left(2k-1\right)x+k-2=0\)

Bài 4: Tìm m tự nhiên sao cho: \(x^2-\left(m-1\right)^2x+m=0\) có các nghiệm đều nguyên.

Answer 1

[Phương' ss ngốc]

Bài 1 :

Theo định lý vi-et ta có:

{xy=a+bx+y=ab{xy=a+bx+y=ab (với x,y là nghiệm của phương trình)

Giả sử ab>xy Suy ra x+y>xy suy ra x(1-y)+y-1>-1 suy ra (x-1)(y-1)<1 suy ra x=1 hoặc y=1

Suy ra 1-ab+a+b=0(vì tổng các hệ số =0) suy ra a=(1+b)/(b-1) ( đến đoạn này là ok)

Giả sử xy>ab Suy ra a+b>ab suy ra a=1 hoặc b=1

Với a=1 suy ra điều kiện để pt có nghiêm nguyên là: b2−4(1+b)=k2⇒(b−2−k)(b−2+k)=8b2−4(1+b)=k2⇒(b−2−k)(b−2+k)=8 (đến đoạn này ok)

Trường hợp còn lại CM tương tự

Answer 2

[Phương' ss ngốc]

Bài 2 :

Để phương trình có ít nhất một nghiệm thì:

Δ=(2p−1)2−4⋅3⋅(p2−6p+11)≥0

=−8p2+68p−131 (1)

Giải pt (1) ta được:

p=17±3√34