Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)a2+b2+c2+3=2(a+b+c)
=>a2+b2+c2+1+1+1-2a-2b-2c=0
=>(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0
=>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1
-->Đpcm
b)(a+b+c)2=3(ab+ac+bc)
=>a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0
=>a2+b2+c2-ab-ac-bc=0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
=>(a2- 2ab+b2)+(b2-2bc+c2) + (c2-2ca+a2) = 0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
c)a2+b2+c2=ab+bc+ca
=>2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)
=>2a2+2b2+c2=2ab+2bc+2ca
=>2a2+2b2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)=0
=>(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
1) Ta có a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
=> (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (a2 - 2ac + c2) = 0
=> (a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2 = 0
=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\a=c\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\left(\text{đpcm}\right)\)
a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0
<=> a-b = 0 và b-c=0 và c-a=0
<=> a=b=c
a^2/b+c + b^2/a+c + c^2=a+b
= a(a/b+c) + b(b/a+c) + c(c/a+b)
= a(a/b+c + 1 - 1) + b(b/a+c + 1 - 1) + c(c/a+b + 1 - 1)
= a(a+b+c/b+c) - a + b(a+b+c/a+c) - b + c(a+b+c/a+b) - c
= (a+b+c)(a/b+c + b/a+c + c/a+b) - (A+b+c)
mà a/b+c + b/a+c + c/a+b = 1
= a+b+c - (a+b+c)
= 0
tau lam theo cach nay hoi dai nhung van dung
xet:a2/b2+c2-a/b+c=ab(a-b)+ac(a-c)/(b2+c2)(b+c)(1)
tg tu:b2/c2+a2-b/c+a=bc(b-c)+ab(b-a)/(a2+c2)(c+a)(2)
c2/a2+b2-c/a+b=ac(c-a)+cb(c-b)(3)
lay(1)+(2)+(3) roi dat thua so chung ab(a-b);ac(c-a);bc(b-c) ra roi gia su a=>b=>c>0 suy ra bieu thuc trong ngoac ko am =>dpcm
Ta có bất đẳng thức tương đương:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{a+c}\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}+\frac{a\left(b^2+c^2\right)}{b+c}+\frac{b\left(a^2+c^2\right)}{a+c}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}+\frac{a\left(b^2+c^2\right)}{b+c}+\frac{b\left(a^2+c^2\right)}{a+c}\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow c^2-\frac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}+a^2-\frac{a\left(b^2+c^2\right)}{b+c}+b^2-\frac{b\left(a^2+c^2\right)}{a+c}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ca\left(c-a\right)}{a+b}+\frac{bc\left(c-b\right)}{a+b}+\frac{ab\left(a-b\right)}{b+c}+\frac{ac\left(a-c\right)}{b+c}+\frac{ab\left(b-a\right)}{c+a}+\frac{bc\left(b-c\right)}{c+a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ac\left(c-a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{bc\left(c-b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{ab\left(b-a\right)^2}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}\ge0\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c