Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(b;c\in\left[0;1\right]\Rightarrow\hept{\begin{cases}b^2\le b\\c^3\le c\end{cases}}\) (1)
\(a;b;c\in\left[0;1\right]\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-1\le0\\b-1\le0\\c-1\le0\end{cases}}\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca+abc-1\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le a+b+c-ab-bc-ca\le1\)
=> ĐPCM. Dấu "=" xảy ra <=> (a;b;c) là 1 trong các hoán vị của (0;1;1) hoặc (0;0;1).
Ta có:
\(\left(1-a^2\right)\left(1-b\right)>0\)
\(\Leftrightarrow1+a^2b>a^2+b>a^3+b^3\left(1\right)\)
(Vì \(0< a,b< 1\))
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}1+b^2c>b^3+c^3\left(2\right)\\a+c^2a>c^3+a^3\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)< 3+a^2b+b^2c+c^2a\)
Vì \(0\le a,b,c\le1\)nên ta có \(1-a>0,1-b>0,1-c>0\)\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+\left(ab+ac+bc\right)-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow1\ge a+b+c-\left(ac+bc+ab\right)+abc\left(1\right)\)
Mặt khác vì \(0\le a,b,c\le1\Rightarrow b\ge b^2;c\ge c^3;abc\ge0\left(2\right)\)
Từ 1,2 có : \(a+b^2+c^3-\left(ab+ac+bc\right)\le1\)
dấu \(\left(a,b,c\right)\)là hoán vị của \(\left(0,1,1\right)\)