Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
thay a^3+b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b) .Ta có :
a^3+b^3+c^3-3abc=0
<=>(a+b)^3 -3ab(a+b) +c^3 - 3abc=0
<=>[(a+b)^3 +c^3] -3ab.(a+b+c)=0
<=>(a+b+c). [(a+b)^2 -c.(a+b)+c^2] -3ab(a+b+c)=0
<=>(a+b+c).(a^2+2ab+b^2-ca-cb+c^2-3ab)...
<=>(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
luôn đúng do a+b+c=0
\(a+b+c=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)=0
\(\Leftrightarrow\)\(a^3+ab^2+ac^2-a^2b-a^2c-abc+a^2b+b^3+bc^2-ab^2-\)
\(abc-b^2c+ca^2+bc^2+c^3-abc-ac^2-bc^2\)=0
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\Leftrightarrow a^3+b^3-3abc=-c^3\)
\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\ge0\)(1)
Vì \(a;b;c>0\Rightarrow a+b+c>0\) (2)
Do đó ta cần phải CM : \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)Luôn đúng (3)
Từ (2) ; (3) => BĐT (1) đúng
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3abc\) đúng (ĐPCM)
a) \(VT=\left(a-1\right)\left(a-3\right)\left(a-4\right)\left(a-6\right)+10=\left(a^2-7a+6\right)\left(a^2-7a+12\right)+10\)
Đặt : \(a^2-7a+9=t\) , ta có :
\(VT=\left(t-3\right)\left(t+3\right)+10=t^2-9+10=t^2+1>0\)
⇒ đpcm
b) \(\left(ab+bc+ca\right)^2\) ≥ \(3abc\left(a+b+c\right)\)
⇔ \(\left(ab+bc+ca\right)^2-3ab.ac-3ab.bc-3ac.bc\) ≥ 0
Đặt : x = ab ; y = bc ; z = ac . Ta có :
\(\left(x+y+z\right)^2-3xz-3xy-3yz\) ≥ 0
⇔ \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\) ≥ 0
⇔ \(2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\) ≥ 0
⇔ \(x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+x^2-2xz+z^2\) ≥ 0
⇔ \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\) ≥ 0 ( Luôn đúng )
⇒ đpcm
a) Ta có:
(a + b)2 >= 0 => a2 + b2 >= -2ab
(a - 1)2 >= 0 => a2 + 1 >= 2a
(b - 1)2 >= 0 => b2 + 1 >= 2b
Cộng từng vế ta được: 2a2 +2b2 +2 >= -2ab + 2a +2b => a2 + b2 + 1 >= -ab + a + b
Dấu "=" xảy ra khi a= - b; a = 1; b = 1 không đạt được nên không xảy ra dấu bằng do đó:
a2 + b2 + 1 > -ab + a + b .đpcm.
b) a + b + c = 0 => a + b = -c => (a + b)3 = -c3 => a3 + 3a2b +3 ab2 + b3 = -c3
=> a3 + b3 + c3 = -3ab(a + b) (*)
Mà a + b + c = 0 => a + b = -c
=> (*) <=> a3 + b3 + c3 = 3abc .đpcm.
Ta có a,b,c dương nên ta áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Dấu = khi \(a=b=c\)
Đpcm
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2-3ab\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\frac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\frac{1}{2}\left(a^2-2ab+b^2\right)\left(b^2-2bc+c^2\right)\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0.\)
vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\left(b-c\right)^2\ge0\)
\(\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a-b=b-c=c-a\)
\(\Rightarrow a=b=c\left(dpcm\right)\)
Được bạn nhé :"))))
Ủng hộ mình = cách theo dõi mình nha
người ta hỏi thầy ( cô) giáo chứ có phải.......