Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có x+y+z=6 => x+y=6-z
xy+yz+zx=9 => xy+z(x+y)=9
=> xy=9-z(x+y)=9-z(6-z)
Ta cũng có: (x+y)2 >= 4xy
<=> (6-z)2 >=4[9-z(6-z)]
<=> 36-12z+z2 >= 4[9-6z+z2]
<=> 36-12z+z2 >= 36-24z+4z2
<=> 3z2-12z =<0
<=> 0 =< x =< 4
Vai trò của x;y;z như nhau nên ta có: 0 =< x,y,z =<4
Từ đó ta có: x-1 =<3
-2 =< y-2 =< 2 => (y-2)2 =<4
-3 =< z-3 =<1 => (z-3)4 =<81
Khi đó (x-1)+(y-2)2+(z-3)4 =< 88
Dấu "=" xảy ra <=> \(\orbr{\begin{cases}x=0;y=0;z=0\\x=4;y=4;z=0\end{cases}}\)(ktm điều kiện bài toán)
Vậy (x-1)+(y-2)2+(z-3)4<88
Lời giải:
Ta xét hiệu sau:
\(x^3+y^3-xy(x+y)=x^3-x^2y-(xy^2-y^3)\)
\(=x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x^2-y^2)(x-y)=(x-y)^2(x+y)\geq 0, \forall x,y>0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)(*)\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+xy\geq xy(x+y+1)\)
\(\Rightarrow \frac{xy}{x^3+y^3+xy}\leq \frac{xy}{xy(x+y+1)}=\frac{1}{x+y+1}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra:
\(\text{VT}\leq \underbrace{\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}}_{M}(1)\)
Vì $xyz=1$ nên tồn tại $a,b,c>0$ sao cho \((x,y,z)=(\frac{a^2}{bc}, \frac{b^2}{ac}, \frac{c^2}{ab})\)
Khi đó:
\(M=\frac{abc}{a^3+b^3+abc}+\frac{abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\)
\(\leq \frac{abc}{ab(a+b)+abc}+\frac{abc}{bc(b+c)+abc}+\frac{abc}{ca(c+a)+abc}\) (áp dụng công thức $(*)$)
hay \(M\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$
Bài của chị Akai đoạn đầu hơi phức tạp(em nghĩ thế).
Ta có:
\(\left(x-y\right)^2\ge0\) với \(\forall x,y\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge0\) với \(\forall x,y\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)với\(\forall x,y\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) với \(\forall x,y\)
Rồi giải tiếp như chị ấy.
Từ: \(xy+yz+xz=xyz\) <=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(A=\frac{1}{x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+z}+\frac{1}{2x+y+2z}\)
Áp dụng bđt: \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) (tự cm đúng)
Ta có: \(\frac{1}{x+2y+3z}=\frac{1}{x+z+2y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{2y+2z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{3}{2z}\right)\) (1)
CMTT: \(\frac{1}{2x+3y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{z}+\frac{3}{2y}\right)\) (2)
\(\frac{1}{3x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{2x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2z}\right)\)(3)
Từ (1); (2) và (3) cộng vế theo vế
\(A\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{2z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{3}{2y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{2x}+\frac{3}{2z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2z}\right)\)
\(A\le\frac{3}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3}{16}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=y+2z\\z=2x+y\\y=x+2z\end{cases}}\) <=> x = y = z = 0
mà x;y;z > 0 => Dấu "=" ko xảy ra
=> A < 3/16