Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì n là số nguyên dương nên \(n^2+n+3>3\). Gọi r là số dư khi chia n cho 3, \(r\in\left\{0,1,2\right\}\). Nếu r=0 hoặc r=2 thì \(n^2+n+3⋮3\)
Mẫu thuẫn với giả thiết \(n^2+n+3\)là số nguyên tố. Do đó r=1 hay n chia 3 dư 1. Khi đó \(7n^2+6n+2017\)chia 3 dư 2. Mà 1 số chính phương có số dư khi chia cho 3 là 0 hoặc 1 nên => đpcm
Ta có \(n\inℕ^∗\Rightarrow n\equiv0;1;2\left(mod3\right)\left(1\right)\)
Nếu \(n\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow n^2+n+3\equiv0\left(mod3\right)\) mà \(n^2+n+3>3\forall n\inℕ^∗\)
=> \(n^2+n+3\) là hợp số ( mâu thuẫn )
=> \(n\equiv0\left(mod3\right)\) (loại) (2)
Nếu \(n\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow n^2+n+3\equiv9\equiv0\left(mod3\right)\) mà \(n^2+n+3>3\forall n\inℕ^∗\)
=> \(n^2+n+3\) là hợp số ( mâu thuẫn )
=> \(n\equiv2\left(mod3\right)\)( loại) (3)
Từ (1);(2);(3) => \(n\equiv1\left(mod3\right)\)
Hay n chia 3 dư 1
Với \(n\equiv1\left(mod3\right)\) ta có
\(7n^2+6n+2017\equiv2030\equiv2\left(mod3\right)\)
=> \(7n^2+6n+2017\) chia 3 dư 2
Lại có : Một số chính phương bất kì khi chia cho 3 dư 0 hoặc dư 1 (5)
Từ (4);(5) => \(7n^2+6n+2017\) không phải là số chính phương (đpcm)
a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương
Biến đổi phương trình ta có :
\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :
TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)
TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)
TH1 :
\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)
\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )
Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương
b) Ta có :
\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)
\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)
- Xét 2 trường hợp :
TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)
TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)
+) TH1 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
+) TH2 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )
1) Vì n2 + n + 3 là số nguyên tố nên n2 + n + 3 không chia hết cho 3
=> n2 + n không chia hết cho 3 hay n(n + 1) không chia hết cho 3
=> n và n + 1 đều không chia hết cho 3
=> n chia 3 dư 1
=> n2 + n + 3 chia 3 dư 2
=> 7(n2 + n + 3) chia 3 dư 2
hay 7n2 + 7n + 21 chia 3 dư 2
Lại có n chia 3 dư 1 nên 1996 - n chia hết cho 3
Do đó 7n2 + 7n + 21 + 1996 - n chia 3 dư 2
hay 7n2 + 6n + 2017 chia 3 dư 2
=> 7n2 + 6n + 2017 không là SCP
Vậy ta có đpcm