Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(g\left(x\right)=x^2-x\)có nghiệm x=0 và x=1 (vì \(x^2-x=x\left(x-1\right)\))
Để chứng minh \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\), ta sẽ chứng minh \(f\left(x\right)\)cũng có nghiệm x=0 và x=1.
Thay x=0 vào \(f\left(x\right)\):\(f\left(0\right)\)\(=\left(-1\right)^{2018}+1^{2018}-2=0\)
Thay x=1 vào \(f\left(x\right)\): \(f\left(1\right)=1^{2018}+1^{2018}-2=0\)
\(\Rightarrow\)x=0 và x=1 là hai nghiệm của \(f\left(x\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)
\(g\left(x\right)=x^2-x\)
g(x) có nghiệm\(\Leftrightarrow x^2-x=0\Leftrightarrow x\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=0\end{cases}}\)
Để chứng minh \(f\left(x\right)=\left(x^2+x-1\right)^{2018}+\left(x^2-x+1\right)^{2018}-2\)chia hết cho \(g\left(x\right)=x^2-x\)thì ta chứng minh tất cả nghiệm của đa thức g(x) cũng là nghiệm của f(x) hay 1 và 0 là nghiệm của f(x) (1)
Thật vậy:\(f\left(x\right)=\left(x^2+x-1\right)^{2018}+\left(x^2-x+1\right)^{2018}-2\)
+) Thay x = 0 vào f(x), ta được: \(f\left(0\right)=\left(0^2+0-1\right)^{2018}+\left(0^2-0+1\right)^{2018}-2=1+1-2=0\)
+) Thay x = 1 vào f(x), ta được: \(f\left(1\right)=\left(1^2+1-1\right)^{2018}+\left(1^2-1+1\right)^{2018}-2=1+1-2=0\)
Qua hai kết quả trên ta suy ra f(x) có 2 nghiệm là 0 và 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)(đpcm)
Đặt \(A=x^{20}+x^{10}+1\)
\(x^{50}+x^{10}+1\)
\(=x^{50}-x^{20}+A\)
\(=x^{20}\left(x^{30}-1\right)+A\)
\(=x^{20}\left(x^{10}-1\right)A+A\)
\(=\left(x^{30}-x^{20}+1\right)A\)
mà \(\left(x^{30}-x^{20}+1\right)A⋮A\)
\(\Rightarrow\left(x^{50}+x^{10}+1\right)⋮\left(x^{20}+x^{10}+1\right)\)
Ta có : \(\left(x^2+x-1\right)^{10}+\left(x^2-x+1\right)-2=\left(x-1\right).Q\left(x\right)+r\)(1)
\(\Rightarrow r\) là số dư
Thay x = 1 vào pt (1) ta có : \(\left(1^2+1-1\right)^{10}+\left(1^2-1+1\right)-2=\left(1-1\right).Q\left(1\right)+r\)
\(\Leftrightarrow1+1-2=r\Rightarrow r=0\)
Do phét chia trên có số dư là 0 nên \(\left(x^2+x-1\right)^{10}+\left(x^2-x+1\right)-2\) chia hết cho \(x-1\)