Question

[Nguyễn Lê Thảo Vân]

1. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho khi chia a cho 5, cho 7, cho 11 thì được số dư theo thứ tự là 3; 4; 6

2.  Chứng minh rằng nếu b chia hết cho a thì BCNN ( a; b ) = b

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

Ta có:

$a-3\vdots 5, a-4\vdots 7$

$\Rightarrow a-3-5.3\vdots 5, a-4-7.2\vdots 7$

$\Rightarrow a-18\vdots 5, a-18\vdots 7$

$\Rightarrow a-18=BC(5,7)$

$\Rightarrow a-18\vdots BCNN(5,7)\Rightarrow a-18\vdots 35$

$\Rightarrow a=35k+18$ với $k$ tự nhiên.

Lại có:

$a-6\vdots 11$

$\Rightarrow 35k+12\vdots 11$

$\Rightarrow 35k+12-33k\vdots 11$

$\Rightarrow 2k+12\vdots 11$

$\Rightarrow 2(k+6)\vdots 11\Rightarrow k+6\vdots 11$

$\Rightarrow k=11m-6$ với $m$ tự nhiên.

$a=35k+18=35(11m-6)+18=385m-192$

Để $a$ là số tự nhiên nhỏ nhất thì $m$ nhỏ nhất.

Mà $a\geq 0\Rightarrow 385m-192\geq 0\Rightarrow m>0$

$\Rightarrow$ m nhỏ nhất bằng 1

$\Rightarrow a_{\min}=385.1-192=193$

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: