Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
No Name:Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3
Do a,b,c bình đẳng ta giả sử \(a\ge b\ge c\)
Đặt \(a-b=x;b-c=y\)
Khi đó BĐT tương đương với:
\(c\left(x^2+xy+y^2\right)+x^2\left(x+2y\right)\ge0\left(true\right)\)
Vậy BĐT được chứng minh
\(\dfrac{a^3-b^3}{ab^2}+\dfrac{b^3-c^3}{bc^2}+\dfrac{c^3-a^3}{ca^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}-\dfrac{b}{a}+\dfrac{b^2}{c^2}-\dfrac{c}{b}+\dfrac{c^2}{a^2}-\dfrac{a}{c}\ge0\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge\dfrac{2a}{c}\\\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{2b}{a}\\\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge\dfrac{2c}{b}\end{matrix}\right.\)
Cộng 3 cái vế theo vế rồi rút gọn cho 2 ta được ĐPCM
2) a) Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(a\ge b\ge c>0\).Suy ra \(a+b\ge a+c\ge b+c\)
Ta có : \(\frac{b}{c+a}< \frac{b}{b+c}\); \(\frac{c}{a+b}< \frac{c}{b+c}\); \(\frac{a}{b+c}< 1\)
\(\Rightarrow\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}< \frac{b+c}{b+c}+1=2\)
b) Đặt \(x=b+c-a\); \(y=c+a-b\); \(z=a+b-c\);
Khi đó : \(2a=y+z\Rightarrow a=\frac{y+z}{2}\). \(b=\frac{x+z}{2}\); \(c=\frac{x+y}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
Mặt khác ta có : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\); \(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\); \(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)\)
hay \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)(đpcm)
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ngay :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|=2b\)( do b > 0 )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)(1) ( như a) đấy :)) )
tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)(2) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)(3)
Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
c) \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^3}{2ab}+\frac{b^3}{2ab}+\frac{b^3}{2bc}+\frac{c^3}{2bc}+\frac{c^3}{2ca}+\frac{a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2a}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2b}+\frac{c^2}{2a}+\frac{a^2}{2c}\)(I)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\left(I\right)\ge\frac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{2b+2a+2c+2b+2a+2c}=\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=a+b+c\)
hay \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
\(\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
Bài 1:
Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Ta thấy \(\left\{{}\begin{matrix}a^2\ge0\\b^2\ge0\\c^2\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge0\Rightarrow-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le0\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le0\left(đpcm\right)\)
Vậy...
Với \(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ac+bc+ac\right)\)
Vì \(a^2\ge0;b^2\ge0;c^2\ge0\)(với mọi a,b,c\(\in\)R)
\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2+c^2\ge0\) (đẳng thức xảy ra khi a=b=c=0)
\(\Rightarrow-2\left(ab+bc+ac\right)\ge0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le0\)(đpcm)