Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
Mà a + b + c = 3 \(\Rightarrow a=b=c=1\)
\(\Rightarrow M=1+2015+2020\)\(=4036\)
b) \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)< \left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(x+y\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[x^2+y^2-\left(x+y\right)\left(x+y\right)\right]< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2-x^2-2xy-y^2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-2xy\left(x-y\right)< 0\)
Có \(x>y\Rightarrow x-y>0\)
\(\Rightarrow-2xy< 0\)
\(\Leftrightarrow xy>0\)
TH1: \(\orbr{\begin{cases}x>0\\y>0\end{cases}}\)( thỏa mãn )
TH2:\(\orbr{\begin{cases}x< 0\\y< 0\end{cases}}\)( loại )
Vậy bđt được chứng minh
Bài 1:
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)
Vì \((a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2\geq 0, \forall a,b,c\in\mathbb{R}\). Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì \((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\).
Kết hợp với $a+b+c=3$ suy ra $a=b=c=1$
Do đó:
\(M=a^{2016}+2015b^{2015}+2020c=1+2015+2020=4036\)
Bài 2:
Xét hiệu:
\(\frac{x-y}{x+y}-\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=(x-y)\left(\frac{1}{x+y}-\frac{x+y}{x^2+y^2}\right)\)
\(=(x-y).\frac{x^2+y^2-(x+y)^2}{(x+y)(x^2+y^2)}=\frac{(x-y)(x^2+y^2-x^2-2xy-y^2)}{(x^2+y^2)(x+y)}\)
\(=\frac{-2xy(x-y)}{(x^2+y^2)(x+y)}\)
Vì \(x>y>0\Rightarrow -2xy(x-y)< 0; (x^2+y^2)(x+y)>0\)
\(\Rightarrow \frac{x-y}{x+y}-\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{-2xy(x-y)}{(x^2+y^2)(x+y)}< 0\)
\(\Rightarrow \frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
Ta có đpcm.
bài này dễ ẹt ak
nhưng giúp mình bài này đi
chotam giac abc . co canh bc=12cm, duong cao ah=8cm
a> tinh s tam giac abc
b> tren canh bc lay diem e sao cho be=3/4bc. tinh s tam giac abe va s tam giac ace ( bằng nhiều cách )
c> lay diem chinh giua cua canh ac va m . tinh s tam giac ame
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)
Vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)
Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương
Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )
=> đpcm
2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :
a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
1. Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2=ab+bc+ca và a+b+c=3. Tính M=a2016+2015b2015+2020c
a2+b2+c2=ab+bc+ca
<=> 2( a2+b2+c2 ) =2( ab+bc+ca )
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ca + a2 ) = 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 = 0
Dễ chứng minh VT ≥ 0 ∀ a,b,c. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
Lại có a+b+c=3 => a=b=c=1
từ đây bạn thế vào tính M nhé :))
2.Cho x>y>0. Chứng minh \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
Ta có : \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x-y}{x+y}\)
<=> \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-\frac{x-y}{x+y}>0\)
<=> \(\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(x+y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{x^3+x^2y-xy^2-y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{x^3-x^2y+xy^2-y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{x^3+x^2y-xy^2-y^3-x^3+x^2y-xy^2+y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{2x^2y-2xy^2}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{2xy\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)( đúng vì x > y > 0 )
=> đpcm