Question

[Nhi Trần]

1/ Cho a,b,c không âm và \(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 \) >= 1. Tìm GTNN cũa biểu thức \(P=a^7+b^7+c^7\)

2/ Cho a,b,c không âm và \(ab+bc+ca=1\).CMR \(a^3+b^3+c^3 >= \) \(\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

Áp dụng BĐT Holder:

\((a^7+b^7+c^7)(a+b+c)(a+b+c)\geq (a^3+b^3+c^3)^3\)

\(\Rightarrow P=a^7+b^7+c^7\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^3}{(a+b+c)^2}\) \((1)\)

Tiếp tục Holder:

\((a^3+b^3+c^3)(1+1+1)(1+1+1)\geq (a+b+c)^3\)

\(\Rightarrow (a+b+c)\leq \sqrt[3]{9(a^3+b^3+c^3)}\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow P\geq \frac{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)^7}}{\sqrt[3]{81}}\) \((3)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\((a^3+b^3+c^3)^2\geq 3(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)\geq 3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \sqrt{3}\) \((4)\)

Từ \((3),(4)\Rightarrow P\geq \sqrt[6]{\frac{1}{3}}\)

Vậy \(P_{\min}=\sqrt[6]{\frac{1}{3}}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt[6]{\frac{1}{3}}\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^3+\sqrt{\frac{1}{27}}+\sqrt{\frac{1}{27}}\geq 3\sqrt[3]{a^3.\sqrt{\frac{1}{27^2}}}=a\)

\(b^3+\sqrt{\frac{1}{27}}+\sqrt{\frac{1}{27}}\geq 3\sqrt[3]{b^3.\sqrt{\frac{1}{27^2}}}=b\)

\(c^3+\sqrt{\frac{1}{27}}+\sqrt{\frac{1}{27}}\geq 3\sqrt[3]{c^3.\sqrt{\frac{1}{27^2}}}=c\)

Cộng theo vế:

\(a^3+b^3+c^3+6\sqrt{\frac{1}{27}}\geq a+b+c\)

Áp dụng BĐT AM-GM:
\((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)=3\Rightarrow a+b+c\geq \sqrt{3}\)

Do đó, \(a^3+b^3+c^3\geq \sqrt{3}-6\sqrt{\frac{1}{27}}=\sqrt{\frac{1}{3}}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}\)