Question

[Khánh Phương]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M=|x-2002|+|x-2001|\)

Answer 1

[Trần Thanh Phương]

\(M=\left|x-2002\right|+\left|x-2001\right|\le\left|x-2002+2001-x\right|=1\)

Dấu " = " xảy ra <=>

TH1: x - 2002 và 2001 - x cùng bé hơn 0

+) x - 2002 < 0 => x =< 2002

+) 2001 - x < 0 => x > 2001 

TH2 : x - 2002 và 2001 - x cùng lớn hơn 0

+) x - 2002 > 0 => x > 2002

+) 2001 - x > 0 => x < 2001 ( loại )

Vậy Mmin = 1 <=> x = 2002

Answer 2

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

\(M=\left|x-2002\right|+\left|x-2001\right|\)

\(M=\left|-\left(x-2002\right)\right|+\left|x-2001\right|\)

\(M=\left|2002-x\right|+\left|x-2001\right|\)

Áp dụng BĐT | a | + | b | ≥ | a + b | ta có :

\(M=\left|2002-x\right|+\left|x-2001\right|\ge\left|2002-x+x-2001\right|=\left|1\right|=1\)

Dấu " = " xảy ra <=> ab ≥ 0

=> ( 2002 - x )( x - 2001 ) ≥ 0

TH1 : \(\hept{\begin{cases}2002-x\ge0\\x-2001\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}-x\ge-2002\\x\ge2001\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le2002\\x\ge2001\end{cases}}\Rightarrow2001\le x\le2002\)

TH2 : \(\hept{\begin{cases}2002-x\le0\\x-2001\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}-x\le-2002\\x\le2001\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge2002\\x\le2001\end{cases}}\)( loại )

=> MinM = 1 <=> 2001 ≤ x ≤ 2002