Question

[Nhon]

Cho nửa đường tròn tâm O, đườn kính AB và một điểm I nằm giữa A và B. Gọi C là một điểm trên nửa đường trong (O). Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với IC cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và B lần lượt ở M và N.

a) Chứng minh tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN.

b) So sánh hai tam giác ABC và INC.

c) Chứng minh góc MIN= 90 độ.

Vẽ hình và làm bài chặt chẽ giúp mình với ạ 

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác MAIC có

\(\widehat{MAI}+\widehat{MCI}=90^0+90^0=180^0\)

=>MAIC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{AMC}+\widehat{AIC}=180^0\left(1\right)\)

Ta có: AM\(\perp\)AB

BN\(\perp\)AB

Do đó: AM//BN

=>\(\widehat{AMN}+\widehat{CNB}=180^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{CIA}=\widehat{CNB}\)

Xét (O) có

\(\widehat{CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB

\(\widehat{CBN}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BN và dây cung BC

Do đó: \(\widehat{CAB}=\widehat{CBN}\)

Xét ΔCAI và ΔCBN có

\(\widehat{CAI}=\widehat{CBN}\)

\(\widehat{CIA}=\widehat{CNB}\)

Do đó: ΔCAI đồng dạng với ΔCBN

b: Xét tứ giác ICNB có \(\widehat{ICN}+\widehat{IBN}=90^0+90^0=180^0\)

nên ICNB là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{IBC}=\widehat{INC}\)

=>\(\widehat{CBA}=\widehat{CNI}\)

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét ΔCAB vuông tại C và ΔCIN vuông tại C có

\(\widehat{CBA}=\widehat{CNI}\)

Do đó: ΔCAB đồng dạng với ΔCIN

c: Ta có: MAIC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MIC}\)

Ta có: NCIB là tứ gáic nội tiếp

=>\(\widehat{NIC}=\widehat{NBC}\)

Ta có: \(\widehat{MIN}=\widehat{MIC}+\widehat{NIC}\)

\(=\widehat{MAC}+\widehat{NBC}\)

\(=90^0-\widehat{CAB}+90^0-\widehat{CBA}\)

\(=180^0-90^0=90^0\)